:>86 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES 



Celte serie est plus convergente que la précédente; mais cette der- 

 nière offre le grand avantage d'une integration très-facile par rapport 

 à (f ; ce qui perniet d'en faire l'application au développement analogue 

 des trans cendantes elliptiques de troìsième espèce. L'équation (160), que 

 nous venons d'e'tablir, coincide avec l'équation (45) donnée par Legendre 

 à la page 1 29 de son 3. ème Volume. Les dimcultés qu'il a rencontrées 

 pour la démontrer, sont éliminées par notre analyse. C'est un fait digne 

 de ne pas étre passe sous silence, que les équations (i5o), (i5i), (i52), 

 ( 1 53) ont échappées à Legendre. 



[26] Les équations (T 3 ) donnent 



1 f(0t 9) 



et d'ici on peut tirer une serie analogue aux précédentes. En eflfet l'on a : 



/( 7> f) n ' (l>* + l) 



tang. u.y i—h'\ sin.» = tang. o . — r— • ~ iV(w } 



f[<Ì>9±-) v< - 1 



Or , en posant 



tang. w . y 1 — A' \ sin. 2 <y = tang. '!> , 

 on sait que si l'on fait 



l'on a ^ = ^w (2) . Mais l'équation o = ^ r F(h', o) devient 



ti F(A', a(>) ) 



' — 7W' l 



Donc on peut remplacer w (l par &> pourvu que <y soit remplacé par 



— : ce qui donne 

 2 J 



f(<l ■> v) 



tang. 5 w = tang. ì <j> • - 



En disposant les facteurs trinomes qui composent les fonctions y, II', 

 suivant les puissances successives de q , les facteurs trinomes du numé- 

 rateur seront: 



