PAR J. PLANA 29I 



cos. 2 //, — (cos. rp . cos. ^ -+- sin. 9 . sin. ij'.j/i — A' *. sin. 1 // ) 



COS. // -4- COS. . cos. tf> 



sin. 9 . sin. ^ . y 1 — A", sin/// 



= — 2 sin. © . sin. ^ 1 — h'\ sin. 2 // • 



Donc , en supprimant le facteur (qui ne pcut pas è tre nul) 



cos. // •+• cos. a? . cos. ^ -+- sin. cp . sin. ^ . |/ 1 — h! 2 . sin. 1 /-'- , 

 commun aux deux membres ile l'équation , l'on aura 



(2) cos.// = cos. 02 .cos.t// — sin. <p . sin. 1 — h'*. sin.'// . 



Telle est la forme de l'intégrale complète de l'équation dillérentieile 



1 j y 1 — A' \ sin.> V 1 — # Vsin.^ ~~ ' 



donnée par Legendre en 1786, et souvent cilée dans ses ouvrages. En 

 faisant disparaitre le radicai, l'équation (2) donne 



(4) sin. 2 c3 -4- sin. 2 <f ■+■ 2 cos. fj . cos. <p . cos. 



= 1 •+ cos. 2 //-t-/i' ( sin. // . sin. p . sin. ) . 



Cela pose, il est assez facile de trouver, que les deux variables y et <p 

 étant liées par l'équation (4), la différentielle 



df . y 1 — h' \ sin. 2 <p -\-dù . ^ 1 — sin. 2 <// 



doit ètre exactement intégrable. Mais cette integration est loin- d'ètre 

 evidente. Au point que, Legendre, au § XYI de son Mémoire public 

 dans le Volume de l'Académie des Sciences de Paris, il dit, que cette 

 différentielle doit étre intégrable algébriquement « au moins pour cer- 

 io taines valeurs de la constante arbitraire \x ». Ensuite il ajoute : « Or 

 » on troupe que V integration réussit quel que soit pt ». C'est de quoi 

 Euler avait déjà donné la preuve en 1761, à la page 2| de son Mé- 

 moire publié dans le Tome VII des Novi Commentar ii. Là on y voit 

 l'équation 



E (<p)-h E (<^) — E([J.) — h' . sin. u . sin. <p . sin. , 



qui est précisément celle dont parie Legendre, avec les expressions de 

 sin. 02, sin. (//, en fonction de la constante arbitraire (X, déduites de l'équa- 

 tion (1). Cette raème équalion (1) donne la valeur de sin. 2 cp -+- sin. 2 ó 



