392 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES 



en fonction du produit sin. 9 . sin. , et par là on concoit que toute 

 différentielle de la forme 



fonct. (sin. 2 ^ -+- sin. 2 ^, sin.<p .sin.<i )d . ( sin. cp. sin.^) 



iloit, tire inlégrable; ce qui est le fondement de l'équation analogue à 

 celle des arcs elliptiques, relativement à trois transcendantes elliptiques 

 de la troisième espèce. Legendre a publié ce théorème dans son Mémoire 

 de 1792. Mais cette extension avait été déjà faite par Euler en 1781 

 dans son Mémoire publié dans le Tome V (Partie II) des Ada de 

 l'Académie de S^-Pétersbourg. 



Les remarques de Fagnani (voyez les pages 344; 36t) , 3^2 du 

 Tome second de ses Produzioni Matematiche publié en 1750 et le Tome VT 

 des Novi Commentava de l'Académie de S.'-Pétersbourg) , que 



j 1 — / 1 — r 



soni, respectivement, des intégrales particulières des équations différentielles 



dx dj dx d ) dx dy 



y 1 — x'> ~~ y 1 — ' y n-jc* y i -+-J 4 ~~ ° 3 y \ ~~ y i+j* 5 



ont fait deviner à Euler que 



c. y i-h Ex" — x . y i -*-EC 



J — i—EC'x 



était l'intégrale complète de l'équation 



d x dy 

 + 



V i-^-Ex" y i+Ey* ~ ' 



en y regardant C cornine une constante arbitraire. Àu reste, on peni 

 simplifier ces intégrales en distinguami le cas de E positif de celui de E 

 négatif. Dans le premier on aura 



/dx l C 



sin, 0) 



en posant 



x . ]/ E = tang. 0) .y i — i sin. 2 w ; 

 et dans le second on aura : 



