M. STLYVAEBT — UN COMPLEXE CUBIQUE DE DROITES 



tous cee termos, sauf le premier, contiennent, au moins dans un facteur. deux in- 

 dice* 1 réunis; donc un point x du rayon doublé xX = g { annule tous les termes 

 sauf le premier; ainsi la surface S = ne passe pas en general par les rayons 

 doubles g, du complexe C 3 . L'équation a n2 a i3s — Qi2s = représente. comme on le voit 

 par le meme raisonnement que pour S = et T — 0, une surface du sixième ordre 

 ayant XTZ pour pian doublé, donc tout rayon doublé g t rencontre la surface du 

 hnitième ordre S = en huit points confondus deux à deux, ou la touche quatre fois. 



La valeur de T est compliquée, mais on peut s'en passer, car il est géométri- 

 quement évident que tout rayon doublé g, appartient à la surface des singularités 



T* j- S* = 0, donc les termes qui, pour les points de g { , ne s'annulent pas dans S 3 



se détruisent avec ceux qui ne sont pas nuls dans T 2 , mais seulement quand le coef- 

 ficient de S 3 est ~. Il en résulte qu'un point arbitraire de ne se trouve, en ge- 

 nerili, ni sur la surface du hnitième ordre S, ni sur la surface du douzième ordre T, 

 ni sur la surface T* = KS 3 quand K est différent de — , et que ce rayon a, avec 



ces deux dernières surfaces, respectivement quatre contacts triponctuels et quatre 

 contacts (i-ponctuels. 



Il se conflrme donc que, sur tout rayon doublé y,, il y a quatre points tels que 

 le céne du complexe ayant un de ces points pour sommet admet le rayon g, comme 

 generatrice cuspidale. 



11 est visible que la courbe S = T = est cuspidale pour toutes les surfaces 

 du faisceau T 2 = KS 3 . 



Nous pouvons donc énoncer: 



Le lieu des sommet s des cónes équianharmoniques du complexe C 3 est une surface 

 du hnitième ordre touchant en quatre points chacun des rayons doubles g,. — Le lieu 

 des sommets des cónes harmoniques est une surface du douzième ordre ayant quatre 

 contacts triponctuels avec chaque rayon g,. — Le lieu des sommets des cónes du com- 

 plexe ayant un rapport anharmonique donne est une sarface d'ordre 24 ayant quatre 

 contacts 6-ponctuels avec chaque rayon g t - et douée d'une courbe cuspidale c qui touche 

 quatre fois chaque rayon g,. — La surface des singularités est d'ordre 24, contient tous 

 les rayons doubles g, et possedè la courbe cuspidale c. 



Gand, le 17 novembre 1911. 



\ 



