UN COMPLEXE CUBIQUE DE DROITES 



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aux coefficients do la formo; et ces coefficients a ijh sont cubiques on x, donc >S' est 

 une formo du douzièmo degré en x et T ost du dix-huitième. 



On peut remplacer symboliquement a iJk par a,a ( a k ot designer par 0, y, ••• des 

 symboles équivalents à a. On sait alors que S est un produit de détorminants sym- 

 boliques tels quo (afty) ou Ic^B^. Les indices 1, 2, 3 se présentent en méme nombro 

 dans tous les termos d'un mème invarianti ainsi l'indice 1 figure quatre fois dans 

 chaque torme de S et six fois dans chaque termo de T. 



Par suite la surface S — (les variables étant x) admet le point X comme 

 point quadruple, tandis que, sur la surface T = 0, ce point est sextuplo. Il en est 

 de méme de Y, do Z et de tous les points du pian XYZ. Ainsi la surface du dou- 

 xième ordre S = se decompose en un pian XYZ compté quatre fois, plus une 

 surface du huitième degré; de mème T= degenere en un pian sextuple et une 

 surface du douzième degré. 



Les quelques lignes qui précèdent contiennent une nouvelle démonstration des 

 résultats obtenus par A. Clebsch pour le complexe cubique le plus général. Cette 

 nouvelle démonstration était nécessaire pour pouvoir étudier le róle des rayons 

 doubles <jj. 



On sait que, si d'un point quelconque d'une cubique piane, ou méme les tan- 

 gentes à la courbe autres que la tangente au point considéré, ces quatre droites 

 ont un rapport anbarmonique Constant r que l'on peut appeler le rapport anharmo- 

 nique de la cubique ou d'un cóne qui la projette. On sait que S = est la condition 

 pour que ces quatre tangentes soient équianharmoniques; que T = est la condition 

 pour que le rapport r soit barmonique; que l'invariant absolu S 3 : T 2 prend une valeur 



déterminée quand le rapport r est un nombre fixe donné; que T 2 estle dis- 



criminant de la cubique ou que T 2 ^- S 3 — est la condition pour que la courbe ait 



un point doublé ; donc, en coordonnées x, T 2 ^- *S' 3 = est l'équation du lieu des 



sommets des cónes du complexe qui ont une génératrice doublé et ce lieu s'appelle 

 la surface des singularités du complexe C 3 . On sait enfìn que S = T = sont les 

 conditions pour que la cubique ait un rebroussement; le cóne qui la projette a alors 

 une génératrice cuspidale; or S = et T =■ représentent, en coordonnées a;, outre 

 le planATFZ, une courbe gauche c. 



Supposons maintenant que xX soit un rayon doublé du complexe C 3 : alors 

 les déterminants tels que | A% B x C x \, ' A x B T C Z \, etc. s'annulent pour le point x s'ils 

 contiennent deux colonnes d'éléments à indice X, et ont x pour point doublé si les 

 trois colonnes sont d'indice X; donc les coefficients a iJk ont x pour point simple ou 

 doublé quand ils ont deux ou trois fois l'indice 1. Or S développé a pour valeur, à 

 un facteur Constant près, 



(«122C1133 _ «123 2 ) 2 + (a222<*233 ~ ^S*) («111 «133 ~ a U3 2 ) 



~h ( a 223°333 a 233 2 ) («111 122 a il2 2 j 



~\~ ( a 222 a 333 a 223 a 233) ( a il2 a il3 a ill a i23) 



~F ( a i22°333 T a 223°133 ^Ojggagjj) (a u2 a 12 3 a 113 a i22) 



( a i22 a 233 ~\~ a i33 a 222 2aj 23 a. 2 23) ( a ll3 a l23 a ll2 a 133) • 



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