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si. ine ordre ei n'ayaaf plus qu'un rebroussement au lieu de trois, un second point 

 tei que K de la courbe cuspidale vient aussi 9e superposer à ./. 



Or sur la droite YZ il n'y a (voir plus liaut) que quatre points d'inflexion de 

 courbes du cmnpli'xe dans des plans passant par YZ; par suite les douzo points ./ 

 ne sont que quatre distraete et, par raison de symétrie. on peut conjecturer que les 

 douze points ./ coincident trois a trois. La vérification analytique semble pénible. 



IO. Dana ce qui précède un point y se déplace sur une droite. Faisons à présent 

 parcourir à ce point un pian défini par trois points A', Y, Z, et cherchons, à l'exemple 

 de A. Clebsch (*). le lieu du sommet .r d'un còno du complexe C 3 quand la trace de 

 ce cóne dans le pian XYZ jouit de quelque propriété invariante. Les lieux géomé- 

 triques obtenus de cette manière seront surtout intéressants par les relations qu'ils 

 présentent avec les rayons doubles ;/,. Posons: 



atfi = k 1 Xi 4- k 2 Y, + k 3 Z, , 



d'où : 



A = Za ik {Xiif k — x K y,) = Kjla.dx,!* — x k A,) -f- K t Za ik (.r, Y k — x k Y,) -j- «3^«.> (*<2* — ^*-Z % ) 

 ou, en abrégé: 



A = KyAx + K 2 yl r + k s A z . 



On a des formules analogues pour les autres éléments du déterminant C 3 et, 9Ì 

 l'on substitue dans l'équation du complexe. on obtient: 



|k,^ x +Kj/l r 4-K s ^ z KA T Mrr«s^ XiCs -j- KìCt -f" «sCz| = 0. 



Cette équation représente, en coordonnées k 1 , k 2 , k 3 , la trace, dans le pian XYZ 

 du còne du complexe C 3 ayant pour sommet le point x. Elle peut s'écrire en abrégé : 



«U1 K 1 3 + SanjK^Kg -)- 6a 123 K 1 K 2 K 3 -|- . . . = , 



les coefficients ayant la signification suivante: 



o lu = \A X B X C X \, 

 3a U2 = | A x B x C r | + 1 A x B T C X | + 1 A T B X C x \ , 

 6a 12s = | A x B T C z \ + \A x B z C T \-\-\A T B x C x \ + \ A Y B Z C x \ + \A z B x C y \ + \ A Z B T C X \ , 

 etc. 



Suivant qu'un coefficient a, jk a une, deux ou trois fois l'indice 1, il est une 

 somme de déterminants contenant X dans une, deux ou trois colonnes et il s'an- 

 nule, à la première, la seconde ou la troisième puissance pour x — X. 



A présent, la forme cubique en K x , k 2 , k 3 a deux invariants désignés habituel- 

 lement par S et T, l'un S du quatrième et l'autre T du sixième degré par rapport 



(*) 1 Math. Ann. „ t. 5. 



