UN COMPLKXK CUBiqUK DE DROITE8 



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Ainsi. la surface, du complexe C 3 relative à une droite quelconque ed une surface 

 da douzième ordre ayant la droite donnée pour tigne sestuple et possédant une courbe 

 cuspidale d' ordre 21 coupant 12 fois la droite donnée. Cette courbe est le lieu des re- 

 broussements des courbes du complexc situées dans les plans passant par la droite, et 

 le li^u des sominets des còues doni un pian tangent slationnaire passe par la droite. 

 Par une droite urbitraire il y a douze plans oh la courbe du compiere a un point de 

 rebroussement sur la droite. 



9. Dans la questioni résolue ci-dessus supposons quo la droite YZ soit rencontrée, 

 au point Y, par un rayon doublé du complexe et que x soit un point de ce rayon 

 doublé. Alors les quantités A y , B r , C Y sont proportionnellos à A r \ B T '. C T ' et à 

 A Y ", By", C v " ; donc le point x est doublé sur la surface Q=0, simple sur la sur- 

 face P=0, mais n'annule en general ni M ni X. Par suite la droite </, est tout 

 entière sur la surface du complexe relative a YZ, mais n'appartient pas à la ligne 

 singulière de cette surface. 



Le pian défini par les droites g t et YZ contient une courbe du complexe: </, est 

 une tangente doublé à cette courbe ; aux deux contacts sont concentrés six des neuf 

 rebroussements de la courbe du complexe. Donc le pian de g t et de YZ est, en ces 

 deux points, osculatela- à la courbe cuspidale de la surface du complexe relative à YZ. 



Admettons ensuite que la droite YZ soit elle-mème un rayon doublé du com- 

 plexe C s . Alors la substitution de Y k x annule les neuf quantités A y . B Y . ... et 

 rend proportionnelles trois à trois les quantités A/,, B z , ... Ainsi le point F est 

 triple sur la surface Q — et doublé sur les surfaces M=0, N=0, P=Q : ce 

 point Y, ou tout autre point de la droite YZ est octuple sur la surface du com- 

 plexe, cornine le montre l'équation (31). Quant à la courbe cuspidale, elle se compose 

 de la droite YZ comptée douze fois et d'une courbe du quinzième ordre; en effet, 

 Y est quadruple sur chacune des deux surfaces: 



j 'ÒM 'N j . j N P 4?* 



— , — o , 



N P I P C ÒQ 



donc multiple d'ordre 16 sur leur intersection ; mais il est doublé sur N— et P= 0, 

 donc quadi-uple sur la courbe N=P=(); par suite il est multiple d'ordre 12 sur 

 la courbe cuspidale. D'ailleurs un pian par la droite doublé contient une courbe de 

 troisième classe à tangente doublé, c'est-à-dire une courbe du quatrième ordre, et 

 ceci confirme que YZ est octuple sur la surface du complexe. Cette courbe a trois 

 rebroussements; tout pian par YZ coupé la courbe cuspidale en trois points hors 

 de YZ. donc en douze points sur YZ. 



Soit ./ un de ces douze points et soit K un point infiniment voisin de J sur 

 la courbe cuspidale; K est un rebroussement de la courbe du complexe dans le 

 pian KYZ, et YZ est une tangente doublé. Le pian KYZ tend vers une position 

 limite pour laquelle un des trois rebroussements de la courbe de troisième classe 

 vient se piacer sur la tangente doublé, ce qui n'est possi ble que si cette droite est 

 tangente d'inflexion en J, et alors la courbe de troisième classe s'abaissant au troi- 



