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. il, est Au douzieme ordre. La coarta eàngaHère -oMient en écrivant qua les relation*: 

 SMfP + 2NK + P = , .VA' 2 -f 2 PK + ÒQ = 



ont deux racines coniinunes en A': 



il 3Jf X P 

 (32) = 0. 



X P ZQ II 



La courbe cuspidale seule s'obtient en écrivant que les éq'uations suivantes sont 

 compati bles : 



SMK + 2X=i) . 2XK + 2P= . >PK - 8Q = : 



l'élimination de A' donne la nième matrice (32). La courbe singulière se réduit donc 

 a la courbe cuspidale; il en est ainsi chaque fois que le paramètre variable n'entre 

 qu'à la troisième puissance dans la figure dont on clierche l'enveloppe. Géométri- 

 quement cette remarque se traduit par le fait que le céne de sommet x est le plus 

 general du troisième ordre: il n'a donc que des plans tangents stationnaires et pa> 

 de plans tangents doubles. Pareillement chaque courbe du complexe est de troi- 

 sième classe; elle est donc en general du sixième ordre. à neuf rebroussements. 

 mais sans nceud. 



Les éléments de la matrice (32) sont du troisième ordre; la courbe cuspidale 

 est, en apparence, d'ordre 27; mais la droite YZ joue ici un róle prépondérant: la 

 courbe cuspidale est l'intersection partielle des surfaces : 



| SM N \ I X PI 



= 0, o, 

 XP I P SQ 



d'où il faut défalquer la courbe annulant N et P. 



Le point Z est quadruple sur la première de ces deux surfaces, et doublé sur 

 la seconde, donc octuple sur lem intersection; mais il est doublé sur la courbe (XP); 

 donc il est sextuple sur la courbe cuspidale. Or Z est un point quelconque de YZ. 



D'ailleurs la surface du complexe relative à la droite YZ est, avons-nous dit, 

 le lieu des courbes du complexe situées dans les plans par YZ; une de ces courbes 

 est du sixième ordre; donc la droite YZ est sextuple sur la surface du complexe. 



La ceurbe cuspidale n'est donc en réalité que de l'ordre 21. Un pian par YZ 

 coupé cette courbe en neuf points, les neuf points de rebroussement de la courbe 

 du complexe contenue dans ce pian. Donc la courbe cuspidale s'appuie sur YZ en 

 douze points. 



Le pian mene par YZ et par la tangente a la courbe cuspidale en un de ces 

 douze points contient une courbe du complexe qui possède un point de rebroussement 

 sur la droite YZ; le còne du complexe ayant pour sommet un de ces douze points 

 possède un pian tangent stationnaire passant par YZ. 



