UN COMPLEXE CUBIQUE DE DROITES 18 



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Pour avoii' la courbe cuspidale seule, on exprime que les relation» (29) soni 

 Térifiées par deux valeurs intìniment voisines de K, ou que les équations : 



* " ° ' liK = ° ' dK> - ° ' 



réductibles à trois égalités de degré n — 2 en K, sont vérifiées par une rnéme valeur 

 de K et ceci eonduit encore à l'évanouissement d'une matrice; la courbe ainsi obtenue 

 est le lieu dos points de rebroussoment des courbes du complexe situées dans les 

 plans passant par la droite donnée. 



Ces calculs s'interprètent d'une autre manière: exprimer que les équations (29) 

 ont une racine commune en K ou que le discriminant de <p{K) s'annule, c'est exprimer 

 que le cóne du complexe de sommet x coupé YZ en n points dont deux coincident, 

 donc que ce cóne, en general, touche YZ, et exceptionnellement qu' il a une géné- 

 ratrice doublé s'appuyant sur YZ; la courbe nodale est le lieu des sommets des 

 cónes qui touchent YZ en deux points distincts; la courbe cuspidale est le lieu des 

 sommets des cónes qui ont un contact triponctuel avec YZ ou dont un pian tangent 

 stationnaire contient YZ. 



Il est possible, dans .le cas général, de trouver l'ordre des courbes nodale et 

 cuspidale; mais, pour rester dans notre sujet. bornons-nous au complexe C 3 . Une 

 des formes linéaires en p ik qui figurent dans le déterminant C 3 , A par exemple, 

 s'écrit: 



A == Za iX {Xfy h — x k yi) ; 



en faisant la substitution de Y, -)- KZj à on obtient: 



A = Ta ih (XiY k — x k Yi) + Kla ik (XiZ k — x k Z,) 



ou en abrégé: 



(30) A = A T + KA Z , 



sans oublier que Y (ou Z) est un point fixe et que A T = représente le pian focal 

 du point Y dans le complexe linéaire A. L'équation en K est donc: 



\A T + KAy By + KBy Cy + KC Z \ = 



ou 



K*\AzBzC z \ + K*\\A r B z Cz\-\-\AzB Y Cz\+\A z B z CY\\ + 

 4- K \\A Y By C z \ + \Ay B z C Y \+\Az B Y C T \ j + \A T B Y C r \ = , 



ou, en abrégeant encore : 



MK* + NK* -f PK^~ Q =s 0. 

 L'enveloppe de ce cóne a pour équation : 



I SM 2N P 



9,M 2N P 



(31) =0: 



N 2P SQ 



N 2P SQ 



