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M. STT'YVAERT 



un système réglé: il reste alors une surface réglée de dixième ordre R 10 (*) contenant 

 tìvidemment les rayons doubles g,. 



8. On appelli' surface d'un romple.ee relative à une droite fixe l'enveloppe d'un 

 eóne du comploxe dont le sommet décrit la droite en question: on sait que c'est 

 anssi le lieu de la courbe du complexe située dans un pian qui tourne autour de 

 eette droite. 



A. Clebsch a démontré le tliéorème general suivant: dans un complexe du » ième 

 ordre. si un cóne du complexe est coupé par une droite suivant n points pour lesquels 

 s'annule un certain invariant (binaire) de degré k par rapport aux coefficients, le 

 sommet de ce cóne décrit une surface d'ordre kn admettant la droite donnée cornine 



kn 



lisne multiple d'ordre -=-. 



Parmi les invariante figure le discriminant de la forme binaire qui a pour support 

 la droite considérée. et méme. si le complexe est cubique, ce discriminant est le seul 

 invariant. Quand ce discriminant s'annule. le théorème de Clebsch fournit précisément 

 la surface du complexe relative à la droite considérée; et ceci est vrai pour un com- 

 plexe d'ordre quelconque n ayant pour équation par exemple: 



(26) F(x,y h — x k y,) = 0. 



Posons en effet: 



(27) py« = Yt + KZt, 



Y et Z étant deux points tixes de la droite donnée. Le cóne du complexe de sommet y 

 a pour équation: 



(28) cp p vry* - mMò + T£ * A k + fr Y, 7 ?' mz, + 



... + F(x 1 F k -^F 1 ) = 0. 



Pour chercher l'enveloppe de ce cóne, on élimine K entre l'équation qp = et 

 sa dérivée par rapport à K ou entre les équations: 



(29) &» ; », -*£-0, 



toutes deux d'ordre n — 1 en K. 



Pour trouver la courbe singulière de cette enveloppe, ligne singulière composée 

 généralement d'une courbe nodale et d'une courbe cuspidale, on exprime que les 

 équations (29) sont véritìées par deux valeurs de K, ce qui conduit à l'évanouissement 

 d'une matrice ; la courbe ainsi obtenue est le lieu des points singuliers des courbes 

 du complexe situées dans les plans passant par la droite donnée. 



(*) Ce raieonnement est déjà dans nos Cinq Étuden de Geometrie anàlytique, p. 130. 



