UN COMPLETE CUBIQUE DE DROITES 



7 



Or ceci n'est pas une conséquence nécessaire du fait que l'aréte 3-,i 2 est un 

 rayon doublé gi, c'est-à-dire que les premiers mineurs du déterrainant: 



'34 



y 34 



sont tous nuls; car, méme dans le cas très special où les a 3i , les b 3i , les c 34 , ainsi 

 que les a 31 , les b 3i , les c 31 . les a i2 , les b i2 , les r 42 seraient propottionnels a trois 

 mèmes nombres, le déterminant | K m v | aurait ses termos nuls sauf ceux de la dia- 

 gonale X 3 u 2 V! et exigerait des hypothèses supplémentaires pour s'annuler. 



Si l'ou part donc d'un point P de g t , ce point est le sommet d'un cóne du 

 complexe ayant g { pour droite doublé; dans chacun des plans tangents le long de //,, 

 il y a une courbe du complexe touchant g t en P et en un autre point P x ou P 2 ; 

 7^ et Pi sont toujours distincts si les plans tangents au cóne (P) le sont. Pour 

 quatre valeurs de p, les deux valeurs de q coincident et inversement; il y a donc 

 quatre points K lf K 2 , K 3) K± sommets de cónes ayant //, pour droite cuspidale, 

 et quatre plans par g L dont les courbes du complexe ont g, pour tangente d'inflexion ; 

 les points d'inflexion I lf T 2 , 7 3 , / 4 sont distincts des points K lt K 2 , K 3 , ifj , car 

 la quarti que piane en p, q ne peut présenter de point ayant deux tangentes paral- 

 lèles aux axes. 



5. Le complexe C 3 contient deux systèmes doublement infinis de congruences 

 de troisième ordre et classe et de genre deux; savoir, d'une part les congruences 

 annui ant la matrice : 



(11) 



a 



A 



B 



C 



a' 



A' 



B' 



a 



a" 



A" 



B" 



C" 



où a. a', a" sont des paramètres arbitraires; d'autre part les congruences annulant: 



(12) 



A, 



a 



A 



A' 



A" 



P 



B 



B' 



B" 



T 



C 



a 



C" 



où a, 3, T sont des paramètres arbitraires. 



Chaque congruence de chaque système comprend les douze rayons doubles 

 En faisant preceder la matrice A 3 d'une colonne de paramètres X. u. v, on a 

 la représentation d'un système regie de rayons de la congruence A 3 et par suite 

 aussi du complexe. Ce système regie appartient à la serie désignée précédemment 

 par S 2 . Toutefois si Fon a \ : n :v — a : ù :y, ce système regie est indéterminé, et 

 si l'on remplace X, u, v par X-f-^cc, n-\-K$, v -\- Kt , on a le méme système 

 regie S 2 ; de sorte que. malgré les trois paramètres X, u, v, la congruence A 3 ne 

 contient qu'une infinite simple de ces systèmes réglés S 2 . 



