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M. STCYVAERT 



t>n fi. Dono, tur tout rayon doublé g, il y a doute points pour lesquels le cóne du com- 

 piere se decompose eti un pian (*) et un cóne quadratique. 



Lorsque l'équation (9) est satisfatte seule, le pian y x = qy 2 est un de» plans 

 tangents au cóne (P) le long de la generatrice doublé y x y 2 - Pour quo ces deux plans 

 coì'ncidont. il faut que le discriminant de l'équation (9) en q s'évanouisse et ce discri- 

 minant est du quatrième ordre en p. Bone tonte droite doublé g, est generatrice cuspi- 

 dale de qvatre cònes du romplexe C s . 



4. Le cóne du complexe de sommet P sur g { a g t pour droite doublé; tout 

 pian tt par y, le coupé oncore suivant une droite simple r partant de P, et récipro- 

 quement tout rayon r ordinaire du complexe C 3 issu de P détermine avec g t un 

 pian tt dans lequel la courbe du complexe a </, pour tangente doublé et r pour tan- 

 gente simple. Si ce pian tt est tangent au còno (P) le long de g,, il n'y a pas. dans 

 ce pian, de rayon du complexe issu de P et distinct de g f , donc Pest alors un des 

 points de contact de //, avec la courbe du complexe dans ce pian, et récipioquement. 



L'équation (9): 



I <*„ P M c 3i | + I <*„ hi T M ! + ! «3* P« T P , i = < » 



fait donc correspondre, à toute valeur de p ou a tout point P de g t , deux valeurs 

 de q ou deux plans par 7, tangents au cóne du complexe de sommet P, et à toute 

 valeur de q ou à tout pian par g f , deux valeurs de p ou deux points de contact 

 de <7i avec la courbe du complexe située dans ce pian. Le raisonnement géométrique 

 en vertu duquel cette doublé correspondance est exprimée par une relation unique 

 se véritìe aisément au moyen d'un calcul corrélatif de celui du n° précédent. 



L'équation (9) représente, en coordonnées cartésiennes p. q (rectangulaires par 

 exemple), une courbe piane du quatrième ordre à deux nceuds à l'infini sur les axes. 

 Si deux valeurs de 7. différentes entre elles, donnent le mème couple de valeurs 

 de p, c'est-à-dire si la courbe est circonscrite à un rectangle parallèle aux axes, la 

 courbe admet une infinité simple de tels rectangles inscrits (quadrilatères de Steiner) 

 et peut ètre dite quadrillée; l'équation de la courbe étant écrite: 



X^V -f 2ix u >*q + v,/>- + 2\ 2 pq* + 4u 2Ì > 9 + 2v 9 p 4- X 3 ? 2 4 2M,g + V S = , 



la condition nécessaire et suftisante pour qu'elle soit quadrillée est (**): 





*1 



Mi 



Vi 





(10) 



h 



Ml> 



V 2 



- 







U 3 



V3 





(*) Dans un tei pian la courbe du complexe se decompose en une conique tangente à la 

 droite y t = y 2 = et un point sur cette droite. 



(**) M. Sti yvaert. Cinq Études de Geometrie analytiqve, Gand. Van Goethem. 1908. p. 156. 



