UN C0MPLEXE CUBIQUE DE DROITES 



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du second ordre; mais, pour ne pas renvoyer à d'autres écrits et aussi parco quo 

 la congruonce l" 3 présente un rayon singulier, nous traitorons diroctement cotto 

 question. 



Supposons que l'arète x t = x 2 = du tetraèdro de référence soit un rayon 

 doublé g t . Un point, x x = x 2 — 0, x 3 = px x , de cotte arèto est lo sommet d' un 

 cóne (P) du complexo C 3 et l'équation de ce cóne s'obtient de la manière stivante: 

 les éléments du déterminant C a ont la forme: 



Za ik {Xiij h — x k y t ) , . . . ; 



on y fait ,r x — x % = 0, x 3 = px± et l'on divise par a? 4 , ce qui donne un déterminant 

 dont un élément s'écrit: 



pLa 3k y k + I'/4*,<A < («•* — — a « , <*« = 0) ; 



cherchons l'intersection de ce còne avec un pian y x = qy 2 passant par le rayon 

 doublé: la substitution dans l'équation du cóne (P) donne un déterminant dont voici 

 un élément: 



0"/«31 + Pa 3 <l)y>2 + P«u!/i + (Vii 4- «42) Vi + «43«/3 , 



ou encore: 



(P<Z«31 + P«Si + 2«41 + fl, 42)«/2 + «34(^4 — «/s) f 



ou, en abrégé: 



Opiìfi + «8*(^ — ys) ; 



dans les autres éléments de ce déterminant, les symboles a, a sont remplacés par 

 a', a', b, 3, ... 



Puisque l'aréte yjy 2 du tétraèdro de référence est, par hypothèse, un rayon 

 doublé du cóne (P), le développement du déterminant ci-dessus ne contient ni terme 

 indépendant de y 2 , m termo du premier degré en y 2 ; il est divisible par y 2 2 et le 

 résultat de cette division a la forme: 



(7) ys I a pn 3 M T, 7 1 + CPi/4 — #3) ) I «m Pp, c 34 1 + I o OT A 34 T OT ! + ! «34 P M T« I ! = ; 



cette équation représento un pian coupant le pian y x = qy 2 suivant la droite qui com- 

 plète l'intersection de ce dernier pian avec le còne (P). Si le cóne (P) dégénère en 

 un cóne du second ordre et un pian, pour une certaine valeur de q, l'équation (7) 

 doit s'identifier avec y x — qy 2 ou devenir indéterminée, et cette dernière alternative 

 est seule possible; on a dans ce cas: 



(8) I«p ? P w T m |=0, 



(9) I <V, $ n c 34 1 + j o„ b 3i + 1 «34 3„ Tn I = °- 



La condition pour que le cóne (P) dégénère en un pian et un cóne quadratique 

 s'obtient en éliminant q de ces deux équations; la résultante est du douzième ordre 



