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2. Cherchons directement les rayons qui annulent tous les premiers mineurs du 

 déterminant C 3 . Pour un de ces rayons, les éléments de chaque colonne sont pro- 

 portionnels à un mème système de trois nombres inconnus a, p, f déterminés à un 

 facteur Constant près et pouvant donc ètre regardés comme les coordonnées homo- 

 gènes d'un point dans un pian; on a donc: 



e = pr 



C — p't 

 C" = p"t ; 



à ces neuf équations il faut joindre l'identité: 



A = pet 

 A' = p'a 

 A" - p"a 



B =.- P p 

 B' = p'p 



£"-=p"P 



(3) 



PliPai + PliPii + PllP23 = 



et résoudre par rapport aux inconnues a, 3, t, p, p', p" et p, k . Les neuf égalitós (2) 

 permettent l'élimination des neuf variables homogènes p, p', p" et p ik ; elles donnent, 

 en appelant a, K , b lK , ... les coefficients des formes A, B, 



(4) 



a p t 



a P T 



a p y 



» —— - ^12 ^18 ^12 ^12 ^12 ^12* ^12 ^12 ^12 



f 34 ^34 C 3i fl 3i ^34 C 34 ff 34 ^34 ^34 



5= 0. 



Les huit premières équations (2) donnent des valeurs des 2?« proportionnelles 

 aux mineurs de A relatifs à des éléments de sa dernière colonne, et la substitution 

 dans (3) fournit: 



(5) 



dA 

 d Cìì " 



dA 



(leu 



T, + 



dA 



dA 



dA 



dA 



dc\%" dcia' 1 de ìi," ' de? 



,7 = ; 



les relations (4), (5) représentent, en coordonnées homogènes a, p, t, deux courbes 

 planes d' ordres 3 et 6 ; leurs intersections correspondent à autant de systèmes 

 de valeurs des p ik ou à autant de rayons doubles cherchés, si l'on exclut tou- 

 tefois les valeurs de a, p, y qui annulent toutes les coordonnées p ik d'une droite, 



donc les six mineurs f\ ou encore la matrice M extraite de A par suppression 



dCiK 



de la dernière colonne, car le seul point a — p — annule la matrice : 

 a p T 



a p t 



a P 



