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M. STLYVAERT 



Xos recherchea antérieures (*) devaient nous taire accorder plus d'attention à 

 ce eas general, et le présent travail lui est tout entier consacré. Sans doutc il est 

 possible. a cliaque propriété rencontrée. de descendre au cas particulier; mais nous 

 ne le ferons pas ici; d'abord pour ne pas allonger cette étude, ensuite parce que 

 cotte méthode, facile d'ailleurs, ne nous semble pas devoir pénétrer assez profon- 

 dément dans la connaissance du complexe étudié déjà par MM. Perazzo et Neuberg. 



1. Le déterminant : 



A 



A' 



A 



B 



B' 



B' 



C 



& 



C 



dont les éléments sont des formes linéaires en coordonnées p lk = x,y k — x k y t , s'an- 

 nule pour les rayons d'un complexe cubique C 3 . 



L'arrangement en lignes ou en colonnes du déterminant C 3 donne le méme mode 

 de generation, que l'on peut énoncer de la facon suivante : Le complexe C 3 est engendré, 

 de deitx mnnières, par les rayons communs aux éléments homolognes de trois réseaux 

 projectifs de complexes linéaires. 



Par exemple, trois complexes homologues 



\A + \'A' + K'A'' = , 

 (1) \B + V# + \"B" — , 



( \c + \'c 4- \"c = o 



ont en common un système regie # 2 . Tout rayon du complexe C 3 appartient à un 

 système regie pareil. et. en general, à un seul, car si les coordonnées de ce rayon 

 annulent C 3 . elles vérifient les équations (1) en méme temps qu'un système de 

 valeurs de X : X' : X". 



Mais ici se présente une circonstance qui ne peut se manifester quand les formes 

 ont moins de cinq variables homogènes: il existe. en général. des rayons satisfaisant 

 aux équations (1) en méme temps que x 1 systèmes de valeurs de X : X' : X"; ce sont 

 les douze rayons qui annulent tous les premiers mineurs du déterminant C 3 ; leur 

 nombre se déduit de formules générales établies par M. (iiambelli et par nous (**) ; 

 ori sait aussi que ces rayons g x . y 2 , </ 3 , . . . , </ 12 sont doubles pour le complexe C 3 ; 

 le déterminant (\ niontre que chacun d'eux est génératrice doublé du cóne du com- 

 plexe correspondant à chacun de ses points, et tangente doublé à la courbe du com- 

 plexe dans chacun des plans qui le contiennent. 



Rien ne s'oppose d'ailleurs à ce que le complexe C 3 ait encora d'autres rayons 

 doubles. 



(*) Cinq Etudes de Géométrie mmlytique, Gand, Van Goethem, 190S. 



f"*) ({. Z. Giamhelli, * Mem. R. Ist. Lomb. „ XX. p. 101-133, 1904: ' Rend. R. Accad. Lincei 

 3 et 17 décembre 1905. — M. Stuvvvbrt, Cinq Études de Géométrie anaìytique. Gand, Van Goethem, 

 1908. p. 127 et suiv. 



