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Eseguendo quindi l'integrazione colle dovute avvertenze, Laplace trova: 



(IH) Z=£-fLD- 



Questa, secondo la prima osservazione di Gauss, e la correzione da noi fatta in nota, 

 deve essere invece: 



(iv) «^F- » + V2if 



zr «ri r 



Se si osserva ora che ~ è piccolissimo (nelle ipotesi di Gauss e Laplace di 

 r = 100000 e D, come risulta dall'osservazione al massimo = 2, di 1 : 50000 al 

 massimo), j/l + ^ è assai prossimamente l'unità e quindi la (IV) diviene: 



(V) f/2D 



come già vedemmo con Gauss. 



Laplace dice che: " la probabilité que la distance périhélie d'un astre qui entre 

 ■ dans la sphère d'activité du Soleil sera comprise dans les limites zero et D, la 



i 2 



" valeur de V 2 n'excédant pas , è espressa dalla forinola: 



(IV) Ì2D ^ , 



che coll'osservazione prima di Gauss diviene: 



Laplace poi trova le formole seguenti: 



tt — 2 ./K~f\ 10D 



(«) n o7FrV2Z>- 



2rr rU\r(r + 200) 



per la probabilità che la distanza perielia essendo compresa fra O e D l'orbita sarà o 

 ellittica, o parabolica, o un'iperbole il cui semigrand'asse sia almeno eguale a 100: e 



rU\r (r + 200j 



per la probabilità di un'iperbole il cui semigrand'asse sia minore di 100. A questo 

 risultato egli giunge così: suppone i = oo, allora la formola (IV) diviene: 



(IV,) ~ V2D 



