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C. SOMIGLIANA - F. VERCELLI 



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cause accidentali esterne , si tratta effettivamente di un problema di distribuzione 

 stazionaria di temperatura, retto dalla celebre equazione di Laplace. Per delimitarlo 

 e risolverlo non resta che a stabilire convenienti condizioni ai limiti del campo che 

 si vuol considerare, e trovare opportuni metodi di integrazione. 



Il Dr. Thoma nella sua Inaugurai Dissertation : Ueher die Warmeleitungsproblem bei 

 wellig begrenzter Oberflàche una 1 dessen Anwendung auf Tunvelbauten (Karlsruhe, 1906) 

 riduce, in sostanza, il problema alla interpolazione di una serie di isoterme fra due 

 estreme date, di cui l'una vien dedotta con certi artifici dalla superficie esterna del 

 monte e dalle osservazioni di temperatura, che vi si possono eseguire, l'altra è piana, 

 orizzontale ed a distanza grandissima. Il problema però è trattato in due sole dimen- 

 sioni, supponendo cioè di considerare una sezione di una montagna cilindrica con 

 generatrici normali al tunnel e la temperatura costante nel senso di queste generatrici. 



E noto che l'integrazione dell'equazione di Laplace nel piano ha relazioni stret- 

 tissime colla teoria delle funzioni di una variabile complessa. 11 Dr. Thoma si serve 

 appunto di una soluzione speciale ottenuta da una funzione di variabile complessa, 

 a cui corrispondono come linee isoterme delle curve ondulate, ad una delle quali 

 egli affida il compito di rappresentare l'isoterma superiore dedotta, come si è detto, 

 dal profilo del monte nel piano verticale passante pel tunnel. 



La funzione complessa # + ir\ della variabile x -f- iy, usata dal Thoma. è deter- 

 minata dalla relazione ( J ) 



e b = cosh (# -f- itj) i = V — 1 



da cui risultano le relazioni reali 



z 



e cos --- = cosb#cosw 







x 



e* sen ? =senh#senw 

 o • 



e le curve # — cost , dal nostro autore utilizzate, hanno perciò l'equazione 



cos* — - Ben*-v- 2* 

 ^ cosh 2 * + senh 2 * = 6 * 



mediante la quale è facile verificarne l'andamento ondulato; esse sono rappresentate 

 nella Tavola XI del 1° volume del citato Treatise di Maxwell. 



Nella funzione & definita dalla equazione (1) vi è una costante arbitraria b ; 

 altre due si possono introdurre prendendo, al posto di una sua funzione lineare 

 c& -\- c'. In tutto si può quindi disporre di tre costanti arbitrarie per riprodurre 

 l'isoterma sopradetta. 



Naturalmente l'approssimazione che in tal modo si può ottenere è atsai limitata. 

 Ma il Thoma con vari artifici, che qui non giova discutere, tenta poi di avvicinarsi 

 successivamente alle condizioni reali del problema. 



( l ) Essa è usata da C. Maxwell nel voi. I del Trtatise of Eleet ricity and Magnetism, §§ 193-196, 

 per risolvere alcuni problemi di elettrostatica. 



