330 



C. SOMIGLIAVA - F. VERCELLI 



4 



Egli ci propose di ricercare nuovi metodi col sussidio dei migliori mezzi che 

 può fornire la Fisica matematica. Noi abbiamo accettato volontieri e siamo assai 

 grati all'egregio collega di aver richiamato la nostra attenzione sopra così attraente 

 problema. Frutto delle nostre ricerche è il presente lavoro. 



In esso abbiamo cercato innanzi tutto di ridurre la quistione ad un problema 

 analitico determinato, cioè a soluzione unica, fissando le condizioni al contorno nel 

 modo che ci è sembrato più semplice e meglio corrispondente ai dati di fatto. Supe- 

 rata questa difficoltà, tutto si riduce alla ricerca dei procedimenti analitici più op- 

 portuni per integrare le equazioni stabilite. La quistione viene cos'i ricondotta sulla 

 via maestra dei metodi classici della Fisica matematica. 



Però siccome si tratta di arrivare a soluzioni che siano suscettibili di calcola- 

 zione numerica, i metodi più recenti fondati sull'uso delle equazioni integrali appaiono 

 subito del tutto inefficaci- Si può allora pensare alla applicazione di quei metodi più 

 particolarmente diretti alla soluzione numerica dei problemi della Fisica matematica, 

 che furono in questi ultimi tempi studiati da W. Ritz (*), da S. Zaremba ( 2 j, da 

 L. F. Richardson ( 3 ). Ma anche questi metodi si presentarono di troppo difficile e 

 laboriosa applicazione. 



Pertanto, fondandoci sopra un concerto assai semplice, abbiamo cercato, seguendo 

 gli antichi metodi classici, di costruire delle soluzioni elementari dell'equazione di 

 Laplace, che soddisfacessero alle equazioni al contorno per quella porzione di esso 

 che può riguardarsi come analitica, ed abbiamo poi cercato di soddisfare per appros- 

 simazione alle condizioni relative alla parte non analitica del contorno (quella data 

 direttamente dalla superficie montuosa), determinando i coefficienti dello sviluppo in 

 serie delle soluzioni sopraccennate in base al metodo dei minimi quadrati. 



Ciò non costituisce alcunché di essenzialmente nuovo dal punto di vista mate- 

 matico; ma può considerarsi come sufficiente ed adatto al nostro scopo, in quanto 

 l'approssimazione, che può effettivamente raggiungersi, può ritenersi soddisfacente, 

 anche senza ricorrere ad un numero molto grande di termini della serie ed a calcoli 

 eccessivamente laboriosi. Ed in ogni caso poi non vi è alcun ostacolo, almeno teo- 

 ricamente, ad una illimitata approssimazione. 



Tutto ciò risulta dalla applicazione che abbiamo fatto del nostro procedimento 

 al calcolo della temperatura pel traforo del Sempione; questa temperatura è stata 

 misurata durante la costruzione con notevole precisione, ed abbiamo quindi potuto 

 eseguire il controllo coi nostri risultati numerici. 



Possiamo cosi sperare di aver stabilito un metodo che possa avere effettiva- 

 mente qualche pratica utilità, negli studi che converrà intraprendere pei futuri trafori 

 delle Alpi. 



( 1 ) W. Ritz, Weber eine Methode zur Losung gewisser Randwertaufgdbe, * Gottinger Nachrichten f| 

 1908. — Id., Ueber eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematische Physik, 

 " Creile Bd. 135. 



( 2 ) S. Zaremba, Sur le calcuì numérique des fonctions demandées dans le problème de Dirichlet et 

 le problème hydrodynamique, " Bulletin internat. de l'Acadéniie des Sciences de Cracovie „, 1908. 



( 3 ) L. F. Richardson , The Approximnte Arithmetical Solution by Finite Difference of Physical 

 ProbUms involving Dtfferential Equations, with Application to the Stressea in a Masonry Dam, " Philo- 

 sophical Transactions of the Royal Society of London voi. 210. 



