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C. SOMIGLIANA - V. VERCELLI 



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Nel problema concreto che noi dobbiamo studiare la temperatura t< non può 

 considerarsi conosciuta sopra una superficie 6" indefinitamente estesa. Noi possiamo 

 perù immaginare di isolare nella regione montuosa una porzione finita mediante una 

 superficie cilindrica verticale che passi pel contorno di quella porzione della super- 

 ficie s, sulla quale la temperatura fu misurata, e di sostituire la rimanente massa 

 montuosa esterna con uno strato piano, sulla superficie del quale la temperatura 

 sia sensibilmente costante. Avremo così un modo di rappresentare approssimativa- 

 mente l'azione che le masse lontane esercitano sulla distribuzione termica nello spazio 

 che dobbiamo più particolarmente considerare. 



Nello strato piano così immaginato (essendo sopra la sua faccia inferiore co- 

 stante la derivata normale e sulla superiore costante la funzione) le isoterme saranno 

 rappresentate da piani, e perciò la derivata normale della temperatura sulla super- 

 ficie cilindrica verticale che separa le due regioni si potrà ritenere nulla. 



Siamo così condotti a considerare il seguente problema: 



Determinare una funzione armonica regolare u in uno spazio S limitato da un 

 piano orizzontale s , da una superfìcie cilindrica s x e da una superfìcie s arbitraria- 

 mente data; quando sopra s si conoscono i valori della derivata normale, sopra s t si 

 sa che i valori di questa derivata sono nulli, e sopra la s si conoscono i valori della 

 funzione. 



Per teoremi ben noti si sa che con queste condizioni la funzione u è univoca- 

 mente determinata. E per le considerazioni precedentemente svolte potremo anche 

 ritenere che, se i dati al contorno sono quelli già indicati secondo le condizioni 

 fisiche del problema, essa rappresenti con sufficiente approssimazione la temperatura 

 interna della massa montuosa che è nostro proposito di determinare. 



Supponiamo ora che il piano zx coincida col piano verticale passante per l'asse 

 del tunnel. In questo piano la funzione u (x, 0, z) soddisfa allora alla equazione 



bx* T da» W/o 



ove con f-r^r!) si è indicato il valore della derivata seconda 'l", per y = 0. Se è 



\<>r/o 3 



lecito supporre che la u varii pochissimo lungo le normali al piano considerato, 

 oppure varii soltanto come una funzione lineare della normale y ( 1 ), sarà nulla questa 

 derivata seconda, e la u (x, 0, z) soddisferà alla equazione 



da* ~r ~" • 



Il problema si riduce allora a due sole dimensioni e la determinazione della « 

 si riduce a trovare una funzione armonica di x, z, la quale sopra la retta x = ha 

 la derivata rispetto a z costante — — c, sopra due rette parallele all'asse della z 

 ha la derivata rispetto ad x nulla, ed assume valori dati sopra il profilo della se- 

 zione montuosa determinato dal piano verticale passante per l'asse del tunnel. 



(') Cioè sia della forma u = u t (x, z) -f- ay con a oostante. 



