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SULLA PREVISIONE MATEMATICA DELLA TEMPERATURA, ECC. 



dalie derivate rispetto ad x e ad y prese positivamente o negativamente, e queste 

 evidentemente si annullano sopra tali piani; mentre per la derivata rispetto a z 

 abbiamo già visto che si annulla per z — 0. 

 Ciò posto costruiamo la funzione 



(4) m = — C2 + Ecj„ U im {x, y, z) 



ove le c, m sono costanti da determinarsi in seguito, e la somma è estesa ad un certo 

 numero di valori degli indici /, m; ad es., da l = ad / == X e da m= ad i»= u. 

 Questa funzione nello spazio 8 sarà armonica, avrà nulla la derivata normale sui 

 piani verticali del contorno, mentre sul piano z = soddisferà alla condizione 



cioè soddisferà a tutte le condizioni a cui deve soddisfare la temperatura cercata, 

 all'infuori di quella di assumere sulla parte non analitica del contorno i valori della 

 temperatura superficiale osservata. 



Ora per soddisfare a quest'ultima condizione noi disponiamo delle costanti c Jjin ; 

 non potremo in generale riprodurre nella u tutti i valori osservati. Solo nel caso 

 in cui le costanti c im si prendessero in numero uguale a quello dei punti in cui la 

 temperatura fu determinata, il problema si ridurrebbe alla risoluzione di un sistema 

 lineare di equazioni in numero eguale a quello delle incognite. Ma in generale il 

 numero delle equazioni supererà quello delle incognite, anche perchè non conviene 

 prendere un numero grande di termini nella (3) per non incorrere in calcoli ecces- 

 sivamente complicati. 



Inoltre conviene osservare che i valori superficiali determinati sperimentalmente 

 sono certamente affetti da errori inevitabili, e quindi dal punto di vista della deter- 

 minazione della temperatura interna il riprodurli esattamente non avrebbe alcun 

 significato di precisione. 



Perciò noi ricorreremo, per determinare le costanti c im , al metodo classico of- 

 ferto dalla teoria degli errori, cioè al metodo dei minimi quadrati. Determineremo 

 cioè le costanti in modo che l'errore medio quadratico fra i valori superficiali rappre- 

 sentati dalla (3) e quelli osservati abbia il valore minimo possibile. 



È chiaro poi, e lo vedremo più precisamente in seguito, che aumentando il 

 numero dei termini nella serie (3) e quindi in ugual misura il numero dei coeffi- 

 cienti, potremo ottenere un errore medio sempre più piccolo e quindi un'approssi- 

 mazione sempre maggiore. Quando l'errore medio sia d'ordine di grandezza uguale 

 all'errore presumibile nei dati d'osservazione ; ottenuti per la temperatura superfi- 

 ciale, noi potremo ritenere d'aver raggiunta tutta l'approssimazione desiderabile. 



Se la temperatura superficiale potesse considerarsi come una funzione cono- 

 sciuta, noi potremmo dedurre dalla (3) una di quelle soluzioni formali del problema 

 della determinazione della temperatura, che si considerano ordinariamente nella 

 fisica matematica, coll'attribuire agli indici l, m tutti i valori da ad oo. Si avrebbe 

 così per la soluzione generale del problema la serie 



OO 00 



(5) u = — cz + £ £ c lm U lm (x, y, z) , 



1=1 m = l 



Sbrir li. Tom. LXIII. t 1 



