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G. SOMIGLIANA - F. VERCFLLI 



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e per la determinazione dei coefficienti c im si potrebbe applicare il procedimento- 

 limite a cui conduce l'applicazione del metodo dei minimi quadrati nel caso di una 

 serie composta di un numero finito di termini. 



Un caso limite interessante del problema che abbiamo studiato si ha quando 

 si suppone che il piano sul quale il gradiente termico assume un valore costante 

 si trovi a distanza grandissima dalla superficie libera montuosa. È sotto questa 

 forma che sostanzialmente il problema è stato considerato dal D r Thoma. 



La soluzione corrispondente a questa ipotesi si trova facilmente. Prendiamo il 

 piano z = al di sopra della superficie montuosa, e l'asse delle z diretto vertical- 

 mente in basso. Basterà infatti sostituire la funzione U a &y data dalla equazione (1) 

 colla seguente 



U a&y == cos ax cos e~ V 

 che è pure armonica quando è soddisfatta la relazione (2). Abbiamo così 



\ òz /*=» 



e possiamo prendere per u, invece dell'espressione (4), quest'altra 



(6) u = a»+ S c,, m e~ 2m V^^cos 2ir(-£) cos 2tt( ig-) 



la quale nello spazio limitato dalla superficie montuosa e dai piani x = ± ~ , 

 M 



y = dr ^- , ed infinitamente esteso nel senso della verticale, diretta in basso, sod- 

 disfa a tutte le condizioni già stabilite, all'infuori di quella di mantenersi sempre 

 finita, poiché per z = co si ha pure u — oo . 



Questo fatto però non costituisce una difficoltà, poiché noi non dobbiamo con- 

 siderare che punti che si trovano relativamente assai vicini alla superficie montuosa; 

 e d'altra parte esso può dirsi implicito nelle condizioni stesse del problema. 



3. Quando siano soddisfatte quelle condizioni, a cui abbiamo precedentemente 

 accennato, per le quali è lecito ridurre il problema a due dimensioni, la soluzione 

 corrispondente si deduce assai facilmente dalle forinole precedenti, e da considera- 

 razioni perfettamente analoghe che si possono fare riguardo al campo superficiale, 

 nel quale si deve in questo caso determinare la funzione u (fig. 1). 



Alle funzioni U atS ,y sostituiremo le altre più semplici 



Uj = cos 2tt f~£-j cosh 2tt f-j-j 



che sono armonicbe nel piano xz, ed hanno una derivata normale nulla in tutto il 

 contorno analitico del campo. Quindi per la temperatura u prenderemo in questo 

 caso una espressione della forma seguente 



(A) u = — cz -f- 2 Ci c °s 2rr cos h ^-j^j 



dove L rappresenta la lunghezza dell'asse del tunnel. 



