358 C. SOMXGLIANA - F. VERCELLI 31 



Introducendo le quantità a lk già considerate avremo 



Per dimostrare che le V t sono ortogonali osserviamo che si ha 



V p V q = t Ì a, P a*, Di U h 



t=l A=l 



e integrando 



V p V q ds — ^ a Xl> £ a hq A hi . 



Js t=l h=l 



Per fissare le idee supponiamo che, se non è p = q, sia p < q. Si ha allora 



i 



e perciò 



\v p V q ds-- 



Le funzioni definite dalle (14) sono perciò ortogonali. Ora le funzioni Z7, si pos- 

 sono considerare come funzioni lineari delle Vi, e perciò la serie che ci rappresenta 

 la temperatura del nostro problema può essere scritta anche sotto la forma 



V = S Di Vi 



1=1 



e le espressioni dei coefficienti D, si possono determinare assai facilmente a cagione 

 della ortogonalità delle funzioni Vi. Le equazioni analoghe alle (11) ci danno subito 

 in questo caso, applicando il metodo dei minimi quadrati, 



A = yVids t 



e per l'errore corrispondente troviamo 



E n = J s ^ — Jj Di v)jds = jV ds — |A ! . 



Questa espressione dell'errore medio quadratico non può differire da quella già tro- 

 vata prima, e quindi per confronto abbiamo 



E £ A ih d c h = Ì A 2 - • 



i=l tesi t=i 



Da ciò segue che la forma quadratica F è essenzialmente positiva. Inoltre al crescere 

 di 11 essa deve crescere sempre ; perciò la differenza 



ossia l'errore quadratico medio decresce indefinitamente al crescere del numero dei ter- 

 mini che si introducono nella espressione della u. 



I 1 per p = q 



I per i <C q 



\ °pp Per p = q 



ì per p <^q 



