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FKANCESCO SEVERI 



Sicché: 



V — p T Pai- l=n—p 



n {n — 2p-\- 1) 1 pi p — 1) 

 2 2 



Giacche per ipotesi la è non speciale sarà n ■= r p, e quindi sostituendo 

 nella precedente uguaglianza avremo: 



Dunque la dimensione virtuale di \D\ coincide con l'effettiva, e perciò \D\ è 

 regolare. 



E passiamo infine alla dimostrazione della equivalenza di T e T,. Anzitutto si 

 osservi che, come già accennammo, su una curva H' di Z le due curve segano gruppi 

 equivalenti. Difatti sopra H' le due curve (composte) e TJ (ove TJ rappresenta 

 il gruppo delle H che passano pei punti comuni ad H' e a T) segano due gruppi 

 equivalenti; ma su H' la T e la TJ segano lo stesso gruppo, dunque Te segano 

 su H' gruppi che si equivalgono. 



Ciò posto supponiamo che la serie individuata da T^ entro Z, sia non speciale, 

 del che potremo esser sicuri se p. es. il numero a delle parti che compongono T^ è 

 maggiore di 2p — 2. In tale ipotesi non solo il sistema |T^! sarà regolare, ma il 

 sistema \ T\ non potrà essere speciale, perchè staccherà su ogni H gruppi non spe- 

 ciali. Dal momento che | r| ha gli stessi caratteri (grado e genere) di \T^\, come 

 si rileva, p. es., dal fatto che 2 T =^ 2Tx, la dimensione virtuale di \ T\ sarà uguale 

 alla dimensione effettiva di | T" J , e quindi \ T\ avrà dimensione effettiva non infe- 

 riore a quella di \ T^\. 



Ora si osservi che | T^ \ sega su una H generica una serie completa (non spe- 

 ciale), e che I T\ sega sulla stessa H gruppi di questa serie. Ne viene che il sistema 

 residuo di H rispetto a ] T] avrà certo dimensione non inferiore a quella del sistema 

 residuo di H rispetto a \ T^\. 



La serie individuata entro Z da una T^ — H, sarà non speciale, perchè stac- 

 cando un elemento generico da una serie non speciale entro un ente oo^, si ha una 

 serie non speciale. Siccome inoltre i due sistemi residui segano su ogni H gruppi 

 equivalenti, essi si troveranno nelle identiche condizioni dei sistemi primitivi. Ne 

 viene che se da | — H | si può ancora sottrarre una H, si potrà togliere anche 

 da \ T — H], e i sistemi residui si troveranno nelle stesse condizioni dei sistemi 

 \T\ e I^tI ; e cosi proseguendo. 



Dopo un numero finito di sottrazioni si arriverà ad un sistema | 7 j — sHj dal 

 quale non è più possibile togliere altre curve di Z. Perchè ciò accada bisogna evi- 

 dentemente che il sistema completo \ T:, — s H | si riduca ad una sola curva composta 

 con curve di Z. 



Siccome ogni curva T — sH deve segare sopra una H qualsiasi un gruppo equi- 

 valente a quello segato da T^ — sH, e d'altronde questo gruppo individua una g° 

 completa, la T^ — sH ed una T — sH, taglieranno ogni H nello stesso gruppo di 

 punti. Dal che si deduce che \ T — sHi riducesi alla curva T^ — sH, e quindi che 



V - p + P„ -f 1 = r + 



r= T,. 



