SULLE COKKISrONDENZt; FRA I PUNTI DI UNA CUUVA ALGKBIUCA, ECC. 



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Ci resta da considerare l'ipotesi che la serie individuata da sia speciale. In 

 tal caso aggiungeremo a questa serie una seconda serie individuata da una curva 

 composta con a' curve H, in guisa che a -\- a.' sia maggiore di 2p — 2. La curva 

 generica S del sistema [.S'^l sarà a valenza zero, e quindi la curva T sarà pure 

 a valenza zero. Poiché la serie individuata da S^, -j- 1\ è non speciale, avremo: 



= + 



dalla quale, tenendo conto che S^S,., si trae ancora: 



T=T, c. d. d. 



21. Dipendenza fra curve tracciate sulla superfìcie 0. — Siene f f" ... curve 

 tracciate su <t>. Diremo che esse sono dipendenti o che una di esse dipende dalle 

 rimanenti, quando si posson determinare dei numei i interi ... X,., non tutti nulli, 

 tali che: 



(38) Xi r' + ... + x,r ^ Xi r; + ... + x,a, 



ove rappresenta il gruppo delle curve del sistema X che passano pei punti comuni 

 a f' e ad una H fissata. Se H denota il gruppo delle H passanti pei punti comuni 

 a f' e alla curva H, dalla (38) si rileva: 



Xir; + ... + x,rj = Xi r; + ... + x.iì, 



la quale ci dice che le curve V ... P rappresentano k corrispondenze (simmetriche) 

 fra i punti di C, dipendenti secondo i numeri (X^ ... X^) (n° 9). 



Viceversa si vede facilmente, seguendo una via analoga a quella del n° 15, che 

 pili corrispondenze (simmetriche) dipendenti secondo (Xi ... Xi), son rappresentate su O 

 da altrettante curve dipendenti secondo gli stessi numeri. 



Talvolta, per brevità, la (38) si esprimerà dicendo che la curva (virtuale) 

 Xi r'-f- ... -f- Xj. r'' è a valenza zero. A proposito di questa locuzione si posson ripetere 

 le osservazioni già fatte nel caso analogo, al n° 15. 



Dimostreremo ora che: 



Sopra la superfìcie <J> è p)ossibile trovare un numero finito di curve indipendenti, 

 tali che ogni altra curva di O sia dipendente da esse. 



Indichiamo con G l'insieme di tutte le corrispondenze simmetriche esistenti sulla 

 curva C. Dal teorema fondamentale del n° 11, segue che nell'insieme G esisteranno 

 certe t corrispondenze indipendenti f ... f, tali che ogni altra corrispondenza V di G 

 sia dipendente da quelle. Poiché la dipendenza fra piìi corrispondenze di G, si 

 rispecchia nella dipendenza fra le curve di O che rappresentano quelle corrispon- 

 denze, le curve f ... f di (p, immagini delle suddette t corrispondenze dell'insieme G, 

 soddisfaranno alle condizioni dell'enunciato. 



Il gruppo delle curve f ... f si chiamerà una base pel sistema di tutte le curve 

 tracciate sopra O. 



