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FRANCESCO SEVERI 



Se le corrispondenze f ... f furono scelte in guisa che indicando con f un'altra 

 corrispondenza qualsiasi di G, le f f f" ... f risultino dipendenti secondo i numeri 

 (1 Xi ... X,); ove le \ sono interi convenienti, la base (f ... f) si dirà minima. 



22. Discriminante di una base. — Teorema di Bézout. — Espressioni pel grado 

 e pel genere di una curva tracciata su O. — Le considerazioni analoghe a quelle che 

 facemmo ai n' 17, 18 per la superficie F, si posson ripetere per la O, modificando 

 solo la definizione del discriminante di una base. Perciò adesso ci limiteremo ad 

 enunciare i resultati ai quali conducono le considerazioni stesse. 



Se f ... f son curve appartenenti a 0, di indici rispettivi ajag... a^, e se f,h 

 esprime il numero dei punti comuni alle curve P f*, si chiamerà discriminante del 

 gruppo (f ... f) il determinante simmetrico: 



Cii Ci2 ... Cu 



C(i C(2 ... Cit 



ove si è posto c,^ =: a, — t.^. 



Quando le curve V ... V son dipendenti il discriminante A si annulla. 



Supponiamo che le curve 11'. ..TT' costituiscano anch'esse una base e che le 

 TT' f ... r* risultino dipendenti secondo i numeri (X» Xi, ... X,,): allora il discriminante A' 

 della base (TT' ... TT') risulta legato a A dalla relazione: 



(Xi X2...X,)2 A' = A-'A, 



ove A è il determinante delle X,^. 



Da questa si rileva che se si annulla il discriminante di una base, lo stesso 

 accade dei discriminanti di tutte le altre. Noi faremo l'ipotesi (eventualmente limi- 

 tativa) che i discriminanti delle basi non sieno nulli. Allora si può dire che 



Le basi minime hanno lo stesso discrimina?ite, che è il massimo commi divisore dei 

 discriminanti (=i= 0) di ttitte le basi. 



Sia L una curva d'indice a dipendente dalla base (f ... P) secondo i numeri 

 (X Xi ... X,), e sia y, il numero dei punti comuni ad L e alla curva P. In modo ana- 

 logo per un'altra curva L' tracciata su <t>, introduciamo i caratteri a', (X' X^' ... X/) 

 e t/- Allora il numero / dei punti comuni ad L, L' è espresso dalle due formolo: 



T=:aa' — ~ 'Lc,h\h' 

 I=aa' ^ ZA.,, C.C,/ 



nella seconda delle quali A,,, rappresenta il subdeterminante dell'elemento c,,. nel 

 discriminante A, e c, c/ son definiti dalle uguaglianze: 



