SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALfiEBRICA, ECC. 



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Il grado V e il genere p della curva L vengono espressi da: 



v = a-— , Zc,,.X,Xa = a- — IA,,,c.c/,, 



p = a(p-l) + ia^ 



'ih^^iCfi -\- 1 



ove u e il numero dei punti comuni ad L e alla curva , inviluppo di Z. Natu- 

 ralmente introducendo i caratteri della curva Ki rispetto alla base (f ... f) e l'in- 

 dice di Ki, che è uguale a 2, perchè le curve di Z toccano il loro inviluppo, dalla 

 precedente formola si elimina la u. Ma l'espressione che cosi si ottiene per p è com- 

 plicata e riteniamo inutile trascriverla. 



Osservazione. — Nelle formolo (34) che davano il genere di una curva tracciata 

 su F, non entravano caratteri della curva immagine dell'identità, perchè le curve 

 canoniche di F, risultando dall'addizione di gruppi canonici dei due fasci unisecantisi, 

 erano a valenza zero. 



Invece nella formola che dà il genere di una cui'va tracciata sulla superficie <t>, 

 che consideriamo attualmente, compariscono caratteri delia curva immagine del- 

 l'identità, perchè le curve canoniche di <t> sono a valenza 1 (come risulta dal fatto 

 che fra esse ci sono le immagini delle c/lp_i canoniche di C), e quindi esse non si 

 compongono direttamente con le curve di Z, ma sono legate a queste da una rela- 

 zione in cui entra anche (ved. al n° 20). 



23. Caso della superficie che rappresenta le coppie (tion ordinate) dei punti di una 

 curva a moduli generali. — Non vogliamo passare sotto silenzio il caso in cui il 

 sistema Z, contenuto in <t>, è un ente coi ^ moduli generali, perchè applicando a 

 questo caso le considerazioni svolte per una qualunque, si ottengono risultati che. 

 per la loro semplicità, riescono interessanti. 



Se il sistema Z è a moduli generali, ossia se la curva C da cui nasce la super- 

 ficie (j), è a moduli generali, pel teorema di Hurwitz, sopra <t> non si troveranno 

 che curve a valenza. Dunque, secondo il n° 20, se T è una curva di esisterà sempre 

 un intero y (positivo, negativo o nullo), tale che: 



Questa relazione si può enunciare dicendo che la curva Ki , inviluppo del sistema T, 

 è una base per la totalità delle curve tracciate su O. 



Però, al contrario di quanto accadeva nel caso della superficie F rappresentante 

 le coppie ordinate dei punti di C, l'immagine dell'identità non costituisce attualmente 

 una base minima. 



Ma è facile vedere che una curva T immagine di una corrispondenza simmetrica 

 a valenza uno, può assumersi come base minima. 



Difatti la corrispondenza T a valenza r e la corrispondenza f a valenza 1, sono 

 dipendenti secondo i numeri (1, — t) (n° 9), e quindi (n" 21) tra le 7'. f passa la 

 relazione: 



(39) 



2T+T7ri^2(r.-f tH). 



(40) 



Skrie II. Tomo LIV. 



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