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FRANCESCO SEVERI 



Si può prendere come curva f quella che rappresenta le coppie di una qual- 

 siasi c/l: in particolare, se ^> 1, possiamo assumere come base minima una curva 

 canonica. Sicché in tal caso tutte le curve della superfìcie <1> si ottengono con le opera- 

 zioni di somma e sottrazione dalle curve del sistema "L, d'indice 2 e grado 1, e da una 

 curva canonica. 



Dalla (39) o dalla (40) si trae che il numero dei punti comuni a due curve T, T 

 di indici a, a' e di valenze y, t', è: 



a a' — Y y' p. 

 In particolare il grado v di T è espresso da: 



V = — T^i?, 



e quindi il genere p da: 



I risultati precedenti interpretati nel caso in cui la O è una superficie iperel- 

 littica generale {p = 2), ne forniscono proprietà, che credo nuove. 



§3. — Esame particolare delle superfìcie che rappresentano le coppie, 

 ordinate o non, dei punti di una curva ellittica. 



24. Determinazione effettiva di una base minima sulla superficie che rappresenta 

 le coppie ordinate dei punti di una curva ellittica singolare. — Esempio numerico. — 

 Come applicazione delle considerazioni generali svolte nei §§ precedenti (della Parte II*), 

 studieremo dapprima le superficie che rappresentano le coppie ordinate dei punti di 

 una curva ellittica singolare, e poi passeremo ad alcune osservazioni sulle superficie 

 che rappresentano le coppie non ordinate (rigate ellittiche). 



La esistenza su C di qualche corrispondenza singolare, porta la esistenza di 

 qualche curva priva di valenza sulla superficie F (coi due fasci ellittici unisecantisi 

 e razionalmente identici, |-ffx|, che rappresenta le coppie ordinate dei punti di C. 



Si tratta di caratterizzare geometricamente, in questo caso singolare, una base 

 (minima) di tutte le curve tracciate su F. 



Dicendo (1, t) i periodi dell'integrale normale di l-"^ specie u disteso sulla C, ad 

 ogni corrispondenza fra i punti di C verrà associata una soluzione in numeri interi 

 {h, g, H, G) della equazione: 



(41) {K + gT)T = H+GT. 



Le corrispondenze a valenza provengono dalle soluzioni identiche di quest'equa- 

 zione, cioè dalle soluzioni: 



h = G, g^H=0{*). 



(*) HuRwiTz, loc. cit., § 2. 



