SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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Per l'ipotesi fatta che C sia singolare, esisterà almeno una soluzione non iden- 

 tica [h' (/ H' (t') della (41). Supponiamo che la nostra curva C sia una cubica piana 

 ellittica di equazione: 



xl = ix\ — giXi—gs, 



e che sia p{u\l,j) la funzione p di Weierstrass ad essa relativa, dimodoché la rap- 

 presentazione parametrica di C sarà: 



Xi=p{u), X2 = p'{u). 



Allora se si pone : 



n' = h' 4-/T, 



in virtù della relazione: 



(42) (/j' _^ ^'t)t = //'-}- <7't. 



potremo dire che \a p{ì(\l,T) possiede il moltiplicatore complesso tt' (*), ossia che 

 P(tt'») è funzione razionale di p{ii) del grado a — G'h' — g' H' . 

 Segue da ciò che ponendo: 



(43) u' = ti' » , 



ad ogni punto x(x-^x.^ della curva C', e quindi ad ogni valore di ii, corrisponde un 

 valore di u' e quindi un altro punto f/igig-y) della curva; e viceversa che ad un 

 punto //, e quindi ad un valore di :u', rispondono a valori (incongrui) di u, e quindi 

 a punti X. La (43) definisce dunque una corrispondenza algebrica singolare (a, 1) fra 

 la serie di punti x, y. 



Questa corrispondenza sarà rappresentata su F da una curva T, unisecante 

 le A'x e a-secante le K.,: il suo genere sarà dunque uguale ad 1, e il suo grado sarà 

 uguale a zero (ved. la forinola (15)). 



Per rappresentare algebricamente la corrispondenza T basterà determinare due 

 corrispondenze a valenza (positiva o nulla) -S', S" , ciascuna delle quali contenga come 

 parte T: il che si fa in infiniti modi. Ragionando per chiarezza sulla F, si potrà, 

 p. es., proceder cosi: Si determinino genericamente due sistemi lineari \S"\, di 



cui ciascuno sia la somma di serie lineari dei due fasci unisecantisi, e tanto ampli 

 che entrambi contengano parzialmente la T. Allora questa curva si potrà definire 

 come l'intersezione di due curve a valenza zero ben determinate, all'infuori. even- 

 tualmente, di un numero finito di punti comuni alle parti residue. Poiché ogni cor- 

 rispondenza a valenza si rappresenta con una sola equazione fra i punti .r, // di C, 

 le coppie dei punti omologhi nella T, resteranno definite dal fatto di soddisfare con- 

 temporaneamente a due equazioni, all'infuori forse di un numero finito di soluzioni 

 estranee. 



Nel caso attuale è facile scrivere le equazioni di due corrispondenze S' , S", a 



(*) Cfr. ad es. Biancui, Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complessa e delle funzioni 

 ellittiche. Pisa, Spoorri (1901); pag. 525 e segg. 



