SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



45 



valenza — 1), costituiranno una base di tutte le corrispondenze esistenti sopra C. 

 Conviene scegliere come corrispondenza associata al moltiplicatore 1, l'identità K. 



Ma avendo scelto arbitrariamente per costruire la 7', uno degli infiniti molti- 

 plicatori complessi della /j, la base {T, K) non sarà in generale minima. 



Vediamo dunque di procurarci con sicurezza una base minima. Perciò occorrerà 

 applicare il noto procedimento che permette di costruire un moltiplicatore complesso 

 elementare, conoscendo un moltiplicatore complesso qualsiasi (*). 



Riprendiamo la (42) e scriviamola sotto la forma: 



^'t2 + (A'-(9') T — ff' = 0. 



Moltiplicando i duo membri di questa per un conveniente numero (razionale), 

 si può sempre ridurre al tipo : 



^t2-| 2Bi + C= 0, 



ove A, B, C sono interi primi fra loro. 



Ricordiamo chela, forma quadratica {A, B, C), il cui discriminante è D = AC — B^, 

 dicesi di prima o di seconda specie, secondochè A, C non sono o sono ambedue pari. 

 Orbene si dimostra che se {A, B, C) è di 1* specie 



tt" = 5+ Ar 



è un moltiplicatore complesso elementare; ossia tale che ogni altro moltiplicatore è 

 della forma ^iTt"-|-^2, con Xj X, interi; e che se {A, B,C) è di 2* specie, un molti- 

 plicatore elementare è: 



n".= ^(J5+l + ^T). 



Ponendo : 



«' = Ti" u, 



e attribuendo a it" il primo o il secondo valore, secondochè {A, B, C) è di l" o di 

 2" specie, avremo la rappresentazione trascendente di una corrispondenza singolare S, 

 di cui un indice è uguale ad 1, e l'altro, a, è dato da: 



Oi = D, a = \{D^\), 



secondochè {A, B, C) è di 1=* o di 2* specie. 



La base {S, K) sarà evidentemente minima. 



Ritornando alla superficie che rappresenta le coppie ordinate dei punti di C, 

 ne possiamo fissare un modello projettivo, considerando nello spazio a quattro dimen- 

 sioni {xi x.. Di 1/2) l'intersezione delle due varietà (cilindriche) a tre dimensioni: 



xl = 4xl — gz — (ji 



y\ = — yi — 9i- 



(* Bianchi, loc. cit., pag. 529. 



