SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 49 



Le tre curve di \K,,\ che contengono come parti rispettivamente KJ K," AV", 

 lasciano come resti tre curve di I, H' H" H'", ciascuna delle quali passa per due dei 

 tre punti base di \Ky\. Pel fatto che ogni generatrice rappresenta una corrispojidenza 

 a valenza uno, avremo (n° 20): 



2/C' + ^ 2{H"-{-H"'l 2lU" + Ki = 2{H"' + H'), 2 AV" -\-K, = 2{H'^ H'% 

 e quindi: 



2(a;'4-A7'H-a:;")+3 A", = ì{h'+h"^h"'). 



Sostituendo nella (47) dopo averla moltiplicata per 2, verrà: 



(48) 2 T— 3 8 A'i + ^ 3 (ir + /f' + H"') = 2T,-\-2T,. 



Se per costruire il gruppo si sega T con la curva composta E'-\-KJ, avremo: 



r,= pA:; + iW', 



ove ili' è il gruppo delle A'j. che passano pei punti comuni a T" e ad //'. Analogamente, 

 se per costruire T,j si sega T con la curva AV, si otterrà: 



Sostituendo nella (48), avremo: 



(49) 2 T - 3 p /iTi + 4 p (/f + H" + E'") = 4 p KJ-\- 2 pi?' + 2 M' . 



Siccome ognuna delle curve del gruppo ili' è a valenza uno. la curva composta M' 

 sarà a valenza a, sicché: 



2M'-\-aK^ = 2[N'-^aH'), 



ove N' è il gruppo delle curve di Z, diverse da ii', che escono dai punti comuni a 

 T ed E'. 



Se nella (49) sostituiamo l'espressione di 2M' data dalla precedente relazione, 

 e quella di 2 A,' data dalla: 



2KJ^K^ = 2(fl-" + fl-'"), 



otterremo, a riduzioni fatte: 



2 r+ (« - P) AV = 2 [N' + (a - P) E'] , 



la quale prova che la curva T ha la valenza a — p. 

 Questo risultato ci dice che : 



Sopra una curva ellittica qualsiasi le corrispondenze simmetriche sono tutte a valema. 



Precisamente: Se una corrispondenza simmetrica ha Tindice a ed ha 8 coppie 

 comuni con una (j\ della curva ellittica, la sua valenza e a — p. 



Lo stesso fatto si sarebbe potuto stabilire per via trascendente, identificando 

 le formolo che rappresentano la corrispondenza diretta con quelle che rappresentano 

 la corrispondenza inversa. 

 Bologna, Aprile 1903. 



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