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GIULIO BISCONCINI 



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In essa l'A. dimostrò, che le traiettorie di un gruppo ooi di similitudini e le 

 congruenze rettilinee isotrope sono le sole congruenze equipotenziali e insegnò, come, 

 per arrivare all'equazione, cui doveva soddisfare il potenziale lungo queste linee, 

 bastasse aggiungere alle traiettorie della congruenza 



Pi = Pi (-i^, i/, ^) , P2 = pAx, !/, z), 



una terza famiglia di superficie 



P3 = P3(-^, 



indipendente da esse, ed, espresso il Ag/" in coordinate curvilinee Pi, pa, P3, bastasse 



porre = ed eventualmente moltiplicare per un opportuno fattore in modo da 



eliminare P3. Ora, poiché l'equazione [Zif=0 differisce dall'equazione di Laplace solo 

 per lo scambio della variabile reale z nella immaginaria it, la via che dovevamo 

 seguire, si presentava ben delineata; dovevamo: 1° determinare nel campo x, i/,t 

 tutti i sottogruppi reali di quel gruppo, nel quale si muta il gi'uppo delle similitudini, 

 quando si fa detto scambio ; 2° trovare le equazioni delle traiettorie 



(1) Pi = Pi !/, t), P2 = P2 i--^, y, t) 



generate dalle coiTispondenti trasformazioni infinitesime, con che avremmo ottenuto 

 le equazioni delle nuove linee coordinate variabili col tempo; 3° determinare l'equa- 

 zione delle vibrazioni dipendenti dai soli parametri Pi, pj secondo il processo più 

 sopra indicato. 



Nel § 4 abbiamo preso in considerazione il caso, in cui le linee equipotenziali 

 appartenessero a una congruenza rettilinea ed isotropa e, valendoci di una forma 

 semplice data dal Ribaucour per l'integrale generale di queste congruenze, abbiamo 

 dedotto le equazioni (1), dimostrando (senza eseguir calcoli) come 1' equazione dei 

 potenziali isotropi si potesse anche riguardare come l' equazione delle vibrazioni in 

 questione. 



Infine abbiamo considerato a parte il caso delle congruenze di lunghezza nulla 

 (v. § 5), che, mentre nel campo x, ij, z dovevasi escludere, poteva dare nel campo x, ij,t, 

 come infatti ha dato, risultati, che non fossero negativi. 



Ci sia permesso qui di ringraziare vivamente il Professore Levi-Civita, che, oltre 

 all'averci gentilmente favorito il tema di questo lavoro, ci fu sempre largo di aiuti 

 e consigli. 



§ 1. — Ricerca grupimle. 



1. — È noto che, nello spazio ordinario, l'unico gruppo, che lasci ferma una 

 curva piana, è il gruppo a 7 parametri delle similitudini, il quale lascia fissa una 

 conica. Scelta questa in modo che in coordinate omogenee assuma la forma 



