3 SULLE VIBRAZIONI UI UNA MEMBRANA, ECC. 53 



cioè scelto quale ente invariante l'assoluto dello spazio, il nostro gruppo G-, risulta 

 definito dalle trasformazioni iiifiiiitosimo (*): 



= P , 'V = '1 , = f . 

 ^if — — . 'V =2P — xr , S4 =xq — yp, 

 TJf=xp-{-tjq-\- zr, 



dove p, q, r sono, secondo le notazioni ordinarie, simboli di derivate di una funzione 

 f(x, y, z) rispetto alle variabili x, y, z. 



Se si passa al campo x, y, t mediante lo scambio di z in it [i =|/ — 1) e si pone 

 s = ^Ì^^^^i^ ^ le trasformazioni infinitesime del gruppo G^ assumeranno la forma: 



= p , ^'jf = q , x^f - « , 



Sif=l/s + tq, S4=tp-\-xs, S3f=xq — yp, 

 Uf= xp + yq + ts 



e la conica all'infinito, che rimane fissa, sarà reale ed avrà per equazione: 



a;2 + .y2 — ^2 = 0. 



Consideriamo ora il gruppo subordinato di G^ sopra il piano all'infinito e deter- 

 miniamone le corrispondenti trasformazioni infinitesime, quando sopra questa varietà 

 a due dimensioni si scelga il sistema di coordinate non omogenee definito dalle 

 formule : 



Quando alle variabili x, y, t si dànno gli incrementi òx, by, bt, le nuove coordi- 

 nate E, n subiranno in generale gli incrementi: 



. _ tbx — xbt . tbu — uhi 



bi = — ^ , òn = , 



per cui nelle successive ti'asformazioni infinitesime del gruppo subordinato i coeffi- 

 cienti di 1^ e ^ saranno ciò che diventano bE e bt), quando bx, by, bf si sostituiscano 



con gli incrementi, che subiscono .r, y, t per effetto delle corrispondenti trasforma- 

 zioni di G-. 



Si riconosce allora senz'altro, che, in virtù delle prime trasformazioni infinitesime 

 e della settima, E ed n assumono degli incrementi, che sono nulli o identicamente o 

 tenuto conto dei valori infiniti, che hanno sulla nostra varietà x,y,t; in altro parole 

 le suddette trasformazioni infinitesime non agiscono sul piano all'infinito, cosa d'al- 

 tronde intuibile a priori, se si pensa al significato cinematico delle trasformazioni stesse. 



(*) LiE-EsoEL, Theorie der Tratt.^formations(jri<i>pen, Bd. Ili, § 34. 



