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SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 



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od il gruppo subordinato </3 sarà individuato dalle trasformazioni infinitesime 



Fra le trasformazioni infinitesime di questo gruppo ve ne saranno di quelle, che 

 lascieranno fissi o due punti (reali o immaginari), o uno solo, o infine tutti i punti 

 del cerchio + 1'^ = 1 • 



Determinate questo trasformazioni infinitesime, potremo determinare le corrispon- 

 denti del gruppo G^ e quindi i suoi sottogruppi ooi. 



Quanto all' ordine seguito avvertiremo , che abbiamo imposto successivamente 

 alle trasformazioni infinitesime di la condizione di operare in modo da mante- 

 nere fermi : 



rt) tutti i punti del cerchio, 

 h) due punti reali distinti, 



c) due punti reali coincidenti, 



d) due punti imaginari. 



2. — Prima però di accingerci a questa discussione crediamo opportuno pre- 

 mettere una osservazione, che ci sembra essenziale. 



Avuto riguai'do alla pura questione gruppale, due trasformazioni infinitesime 

 saranno a ritenersi equivalenti, quando sieno riducibili l'una all'altra mediante una 

 trasformazione, che appartenga al gruppo. Una definizione così generale non potrà 

 darsi però, ove si tenga presente 1' applicazione , che abbiamo in vista. E in vero, 

 mentre dovremo riguardare le variabili x, y come coordinate cartesiane di un piano 

 (quello della membrana elastica), la variabile t dovrà ritenersi invece un parametro, 

 che misura il tempo. Non sarà perciò lecito nella discussione scambiare indifferente- 

 mente il loro ufficio, come si potrebbe fare, se esse rappresentassero coordinate di 

 spazio, ma si dovrà avere riguardo di tenere sempre distinta la t. 



La definizione accennata di equivalenza non può dunque applicarsi senz'altro al 

 nostro caso, perchè essa potrebbe condurci ad ammettere equivalenti due sotto- 

 gruppi oqI, che in realtà lo fossero solo nell' àmbito gruppale. Essa andrà dunque 

 intesa nel senso, che le trasformazioni di (?7, rispetto alle quali due sottogruppi oo^ 

 si presentassero equivalenti, non debbano involgere in un ufficio scambievole le tre 

 variabili x, ij, t. 



Dovremo dunque nel confronto usare solo delle trasformazioni finite che proven- 

 gono dalle trasformazioni infinitesime Xif, X^f, X^f, Uf, Ssf, poiché le prime due equi- 

 valgono a una trasformazione parallela di assi, la terza ad un cambiamento dell'origine 

 da cui si conta il tempo, la Uf a un cambiamento dell'unità di misura delle lunghezze 

 e del tempo, l'ultima ad una rotazione degli assi r, i/ nel loro piano: mai invece 

 potremo usare delle trasformazioni finite appartenenti alle S^f ed S^f, perchè in esse 

 l'ufficio di t è scambiato rispettivamente con quello di o di x. 



Sif= cosG 



df 

 òé ' 



Sif = — sen 9 ! 



òf 

 òe 



3. — Tenuto presente questo veniamo alla determinazione dei sottogruppi oo 

 di Gt, distinguendo i quattro casi, di cui s'è detto al n*" 1. 



