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a) Indicando con e, (« = 1, 2, 7) delle costanti arbitrarie, la trasformazione 

 infinitesima più generale del gruppo G-i avrà la forma: 



Poiché abbiamo notato che X^f, X^f, X^f, Uf non operano sul piano all' infinito, 

 mentre l' opposto avviene per le altre tre , le quali muovono i punti del cerchio 

 52 _j_ n2 — 1 nel modo già detto, così affinchè la Xf soddisfi alla condizione di lasciar 

 fìssi tutti i punti di questo, basterà supporre: 



^5 = ^r, = eT = 0. 



Se ammettiamo inoltre dapprima che sia =f= potremo dare a Xf la forma : 



A7 e,X,f + e,X,f + e,X,f + Uf. 

 Questa si riduce ulteriormente eseguendo la trasformazione: 

 x'z=x-]- ei, y' = y^ 62, t'=t + e^, 

 appartenente al sottogruppo A'/, X^f, X^f, e diventa (le notazioni essendo evidenti) 



eiV + ^2?' -i- e^s' + {x — e^)p' + [y' — e.2)q' + [f — ^3)5' 

 ovvero, a operazioni eseguite: 



Uf. 



Se supponiamo invece e^=0 abbiamo: 



f 



Xf=e,X,f+e,X,f+e,X,f, 



nella quale sono ancora da distinguere, in base alla osservazione fatta al n° 2, i due 

 casi 63 =4= ed 63 = 0. 



Nel primo essa è equivalente, pel tramite di una opportuna rotazione degli 

 assi xy nel loro piano, alla trasformazione infinitesima: 



AV+cAV, 



nel secondo alla : 



Possiamo quindi far rientrare questo tipo nel precedente, togliendo in esso per c 

 la restrizione imposta. 



h) Prendiamo ora in esame il caso, in cui due punti reali del cerchio riman- 

 gono fissi, ed osserviamo, che, senza togliere nulla in generalità alla questione, 

 potremo sempre supporre, che tali punti sieno gli estremi di un diametro, p. es. di 

 quello coincidente coll'asse delle H (*). 



La trasformazione più generale 



(\icos0 — XgsenG + X3) — 



del gruppo subordinato sul cerchio attribuendo alla G l'incremento: 



e (Xjcostì — XgsenO -|- Xg), 



(*) Potremo sempre ridurci a questo caso mediante una trasformazione proiettiva apparte- 

 nente a g^. 



