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SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 



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§ 2. — Linee roordinfite, 

 (ini cui paraìtiett'i ti ipemloìio le ribraxioni. 



1. — Procederemo ora alla determinazione delle traiettorie, che le trasformazioni 

 infinitesime ora trovate generano e mostreremo nei casi piìj semplici, come debba 

 avvenire la propagazione delle vibrazioni della lamina. 



Vedremo come alcuni tipi saranno da scartare, perchè gli integrali corrispondenti 

 Pi — Pi(*> //iO> P2 = P2(*- !/i non risulteranno indipendenti rispetto alle variabili or e y. 



Ora questa è per noi una condizione essenziale, perchè le formule Pi = Pi(x, t), 

 Pg = P2 (.T, i), che nello spazio x, i/, t s'interpretano come linee di una congruenza, 

 nel piano xi/ devono invece rappresentare formule di trasformazione fra due sistemi 

 di coordinate x, y e pj, P2, e come tali devono poter risolversi rispetto a x e a y. 



Vedremo, come fra i casi più semplici si trovino: quello in cui il movimento 

 è riferito a un sistema di assi cartesiani in moto traslatorio uniforme, e quello in 

 cui questi assi ruotano pure uniformemente. 



2. — I. Xif -\- c Xo^f. Le traiettorie di questa trasformazione infinitesima sono 

 definite dal sistema differenziale: 



dx dy dt 



T ~~ ~ e 



ovvero in termini finiti dalle equazioni: 



Pi = ex — t 9-2 — II- 



Vediamo allora subito, che il caso in cui e = devesi escludere, in base a 

 quanto s'è detto al n° 1. 



Per c =4=0 le linee coordinate sono rette parallele agli assi, le prime spostantisi 

 uniformemente col tempo, le altre fisse. 



L'interpretazione fisica del fenomeno è in questo caso assai semplice. Fissato un 

 punto {x, y) della lamina, al quale nell'istante iniziale t = t^, corrisponda una data 

 vibrazione tv, se al crescere del tempo ci spostiamo nel senso positivo sopra la paral- 

 lela all'asse delle x condotta per il punto, di una quantità corrispondente alla varia- 

 zione del tempo divisa per c, troviamo punti per cui ir ha sempre lo stesso valore 

 (perchè appunto pi e p.> si mantengono inalterati). 



È chiaro allora, che se una linea / della lamina e Ibrniata di punti, pei quali ia 

 vibrazione trasversale ha lo stesso valore, essa col variare di / mantiene la Mia 

 forma spostandosi parallelamente a se stessa nel senso dell'asse delle ./•. 

 n. Uf. Le traiettorie sono: 



dx d;/ dt 



X ~ y ~ t ' 



e in termini finiti : 



