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SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 



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due famiglie di superficie Pi = cost, P2=cost si associa nello spazio ds^=dx^ -\-dy^ — dt^ 

 una terza famiglia P3=cost da esse indipendente e si esprime la equazione: 



O.C- oy 



"òt- 



= 



in coordinate curvilinee pi, P2, Pa, basta porre nella equazione risultante = ed 

 eventualmente moltiplicare per un fattore dipendente da Pa, affinchè essa si muti in 

 una equazione □ tv = 0, che, non solo non contiene P;, come variabile di derivazione, 

 ma nemmeno la contiene nei coefficienti ; in una equazione cioè, che definisce w come 

 funzione delle sole coordinate Pi, P2. 



Per il calcolo ci varremo della formula di Beltrami: 



dove con a indichiamo il determinante del quadrato dell'elemento lineare dello spazio 

 in questione espresso in coordinate curvilinee Pi, P2, P3 e con a'"' gli elementi reci- 

 proci degli elementi «,s di questo determinante. 



Avvertiamo però, che ci risparmieremo questo calcolo tutte le volte che con 

 semplice cambiamento di parametri ci riuscirà immediato il passaggio dai tipi di 

 sottogruppi del gruppo delle similitudini nello spazio ds^ = dx^ -\- di/^ -\- dz^ ai 

 tipi da noi trovati. 



Negli altri casi, almeno nei più complicati, riporteremo il calcolo per esteso. 

 1. Aggiunto al sistema di superficie 



trovate al paragrafo precedente, il sistema : 



si ha successivamente: 



ds' = dx^ + df - dV' = ji dp\ -h r?p| -f (-^ — 1 )(^p1 + dp^dps, 



1 , 



— 1 



e" 



a'"' = 1 



.MS) 



= 0, 



E l'equazione delle vibrazioni sarà: 



Skrik li. Tom. LIV. 



