70 GIULIO BISCONCINI 20 



se si pone inoltre y = Ps si trova : 



ds^ = dpi + dp.dp, - 2 ^ dp.dp. 



Pi Pi Pi 



e si arriva all'equazione: 



òp% ÒP.^Pa dPa 



Integrata una prima volta rispetto a P2 si ha: 



e da questa immediatamente: 



i^(logVpi — P2, wPi — j <p(Pi)(^Pi) = 0. 



A questo integrale generale della \Z]iv = possiamo anche dare la forma più 

 semplice: 



tv = 7^1 (pi) + ~ F2 (logVpi — P2), 

 Pi 



con ed indicando simboli di funzioni arbitrarie. 



XII. Considerando con le due equazioni 



a;2^_i/2=pi, «-j-arctg-J==P2 



la terza 



i=tgP3, 



si trova: 



x = piCosp3, y = Pisenp3, t~p^-p^. 



Esse scendono dalle formule del Levi-Civita relative al caso dei potenziali eli- 

 coidali, quando si ponga in esse z = it, m — i e si cambi Pg in ip2. Fatto questo 

 cambiamento anche nella corrispondente equazione (v. n° III di questo paragrafo), si 

 ha pel nostro caso: 



Lì IV = T-»- + -2 1 — A — = • 



^P^ ' \ P^ /ÒP'2 Pi ^Pi 



XIII. Se aggiungiamo alle equazioni del paragrafo precedente, alle equivalenti 

 la equazione 



i = tgP3 



otteniamo : 



= ipisentP2e"^^cosp3, ?/ = iPisenip2e''^'senp3, ^ = PiCosip2e^2», 



formule, che, come era chiaro a priori, si potevano ottenere da quelle corrispondenti 



