SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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dovrà segare su una qualunque H un gruppo identico a quello segato dalla curva 

 composta Hi -j- ...-(- H„, e quindi il sistema \ D\ si ridurrà a questa sola curva. 



Supponiamo ora che il gruppo Hi ... H„_i individui entro Z una serie completa oc", 

 ma che il gruppo Hi ... H„ individui una g^. In quest'ipotesi calcoliamo la dimensione 

 R del sistema \D\. Esso sega sopra una H di Z una serie ooi, perchè ogni H è ri- 

 ferita prospettivamente alle curve di Z, e siccome facendo avvicinare indefinitamente H 

 ad H„, quel riferimento prospettivo permane, la dimensione della serie segata daj/)] 

 su H„ non potrà differire da 1. D'altronde l'um'ca curva del sistema \ D\ che con- 

 tenga come parte H„, è quella spezzata in H, ... H„_i, dunque: 



i2 — 1 — 1 0, ossia: li = 2. 



Supponiamo ora che il grappo Hi ... H„_i individui una e che il gruppo Hi...H„ 

 individui una g'-. Considerando come prima la serie segata su H„ dal sistema iZ)|,si 

 vede che essa è oo^. Ma i resti delle curve /) passanti per H„ costituiscono il si- 

 stema lineare i Hi -|- ... -|- H„_i j . che per quanto precede è di dimensione 2, dunque 

 indicando al solito con A' la dimensione di |Z)|, avremo: 



R — 2 — 1=2, ossia: R=b. 



Così proseguendo, servendosi dell'induzione completa, si tz'ova che la dimensione 

 del sistema | Hi -|- ... -|- H,,] , quando r è la dimensione della serie individuata dal 



gruppo Hj ... H„, è espressa da ' ^ (*). 



Lemma II. — Il sistema lineare che contiene totalmente una serie lineare non spe- 

 ciale di curve di Z, è regolare. 



Dal fatto che ogni curva rappresentante le coppie di punti di un gruppo varia- 

 bile in una g\p_2 canonica di C, è una curva canonica di F {**), segue subito che su 

 una H ogni curva canonica sega un gruppo speciale di 2p — 3 punti, e quindi che 

 ogni sistema lineare speciale sega su H gruppi speciali. Se ne deduce che il sistema 

 l-^l = 1^1 + ••• + che contiene totalmente la gl, non speciale, è esso pure non 

 speciale. 



Calcoliamo ora la dimensione virtuale di questo sistema, data dal teorema di 

 RiEMANN-RocH (***). Il grado v di \D\ è uguale ad n^, il genere p è uguale a 



come si vede ricordando che le varie parti della curva composta Hj -)- ... -|-H„ s'incon- 

 trano a due a due in un punto: e il genere aritmetico P„ di O è espresso da: 



(*) Uu ragionamento analogo si trova nella Nota citata del Dott. Maboni, pel caso di una super- 

 ficie con due fasci unisecantisi. 



(**) Ved. la mìa Nota, Sulle superfìcie che rn])2)resentano le coppie di jmnti n" 5. 



(***) Cfr. Castelnuovo, Alcune j^voprietà fondamentali dei sistemi lineari di curve tracciati sopra 

 una superficie algebrica. * Annali di Matematica (2), t. 25 (1897); n' 34 e segg. 



(■^) Cfr. la mia Nota Sulle superfìcie ; n° 6. 



