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FRANCESCO SEVERI 



algebrico ooi Z. Ma siccome una serie razionale di curve di un sistema algebrico, e 

 contenuta totalmente in un sistema lineare (*), avremo: 



(36) r^ + ^H = r; + TH' 



ove il segno = ha il significato che già precisammo al n° 13. 



Alla curva T corrisponde sulla superficie F delle coppie ordinate (ved. al n" 19), 

 una curva aS', a valenza f, appartenente airinvoluzione O'. Sicché continuando ad 

 usare le notazioni del n° 19, avremo: 



S-^rjK^iS^-h Sy) + T(/C + IQ. 



Se H è la curva di Z omologa di K^c nella corrispondenza (2, 1) tra F e <t>, ed 

 H' la curva omologa di Ky, alla curva Sy (o S^) corrisponderà la curva (o TJ) 

 costituita dalle ulteriori curve di Z uscenti dai punti comuni ad H (o H') e a T. 



Siccome nel passaggio da F a a curve equivalenti su F corrispondono su 

 curve equivalenti (**), e d'altronde alla S corrisponde la T contata due volte, perchè 

 ogni punto di T proviene da due di S, avremo sulla superficie 0: 



2T+ T/A = (T. + tH) + (TJ + tH') , 



ossia, in virtù della (36) : 



(37) 2r+T/fi^2(T, + TH). 



In particolare se Tèa valenza zero, dalla (36) rileviamo: T-^ = TJ , e dalla (37): 



2r = 2r,. 



La prima di queste si può anche enunciare dicendo che una curva a valenza 

 sega su ogni curva di Z un gruppo che equivale a quello segato da un conveniente 

 insieme di curve H : viceversa è chiaro che ogni curva soddisfacente ad una tal con- 

 dizione, come p. es. una curva che appartenga al sistema lineare individuato da un 

 gruppo di curve H, è a valenza zero. 



Dalla seconda relazione non si può a 'priori dedurre che T e T^ sono equivalenti, 

 ma noi proveremo che nel caso attuale questa deduzione è lecita, dimostrando che 

 ogni curva a valenza zero tracciata su <\> appartiene ad un sistema lineare individuato 

 da un gruppo di curve di Z. 



A tal uopo ci occorreranno due lemmi che andiamo ad esporre: 



Lemma I. — La dimensione del sistema lineare (completo) che contiene totalmente 



una serie lineare completa di dimensione v, formata con le curve di Z, è ' 



Siene infatti Hj ... H„ le curve di un gruppo della gl completa che si consi- 

 dera entro Z. Se r = ogni curva del sistema 



(*) Cfr. Enriques, Un'osservazione relativa alla rappresentaziotie paranietrica delle curve algebriche 

 ' Rendiconti di Palermo „ t. 10 (1896). 



(**) Ved. la mia Nota, Sulle relazioni che legano i caratteri invarianti di due superficie in corrispon- 

 denza algebrica. ' Rendiconti del R. Istituto Lombardo (2), t. 36 (1903); n° 2. 



