SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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§ 2. — Le superficie con un sistema algebrico d'indice 2 e grado 1. 



20. Generalità. — Curve a valenza. — Sia <J> una superficie che rappresenti 

 senza eccezione le coppie non ordinate dei punti di una curva di genere p (*). Le 

 coppie dei punti di C delle quali fa parte un punto fissato, son rappresentate su O 

 da una curva H; sicché ai punti di C vengono a corrispondere ooi curve H, razio- 

 nalmente identiche a C, le quali costituiscono un sistema algebrico Z d'indice 2, cioè 

 tale che per ogni punto di <t> passano due curve H, e di grado 1, cioè tale che due 

 sue cm've si segano in un punto. — Viceversa è chiaro che ogni superficie con un 

 sistema algebrico d'indice 2 e grado 1, rappresenta le coppie (non ordinate) dei punti 

 di una curva. 



La superficie O è riferibile alla superficie F che rappresenta le coppie ordinate 

 dei punti di 6', in una corrispondenza algebrica (1, 2), poiché ogni coppia di punti 

 di C dà luogo a due coppie ordinato diverse, e in questa corrispondenza ai punti 

 di corrispondono su F le coppie dell'involuzione 0', che consideravamo alla fine 

 del precedente §. 



Ogni corrispondenza simmetrica T fra i punti di C, è rappresentata da una 

 curva T tracciata su O, e viceversa. Se sulla C è data una corrispondenza non sim- 

 metrica S, e si considerano le coppie dei punti omologhi in questa cori'ispondenza 

 prescindendo dall'ordine, esse vengono rappresentate dai punti di una curva di 0, la 

 quale però deve riguardarsi come immagine della somma S -f- di S con la sua 

 inversa. 



La corrispondenza identica viene rappresentata su dalla curva Ki inviluppo 

 del sistema X, ossia dal luogo dei punti di O dai quali escono due H coincidenti. 



Per ogni curva T di ci sono da considerare : il genere p, il grado v, Vindice a, 

 ossia il n" delle intersezioni di T con una H, e il numero u dei punti comuni a T 

 e alla curva Ki (n° dei punti uniti della corrispondenza di cui T è immagine). Questi 

 quattro caratteri son legati dalla relazione: 



4a(p — l)-(-2v = 4(p — 1) + M (**). 



Nel seguito il gruppo delle curve di Z, diverse da una H fissata, che escono 

 dai punti in cui questa taglia • T, si indicherà con la lettera stessa T dotata del- 

 l'indice X. 



Una curva di <t> dicesi a valenza y quando rappresenta mia corrispondenza sim- 

 metrica a valenza f. 



Sia T una tal curva. Allora trasportando sulla superficie O la proprietà carat- 

 teristica delle corrispondenze a valenza (n° 4), e indicando con 7\. (o TJ) il gruppo 

 delle curve di Z uscenti dai punti in cui T vien segata da H (o da H') si può dire 

 che i gruppi di elementi di Z, Tj-I-tH e -f-rH', sono equivalenti entro all'ente 



(*) Per le citazioni relative a questa classe di superficie, ved, l'introduzione alla presente 

 Memoria. 



(**) Dk-Franchis, loc. cit., n" 18. 



