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FRANCESCO SEVERI 



ove u denota il numero dei punti uniti della corrispondenza rappresentata dalla 

 curva T. Giacche: 



M = a-fP + 2Tp, 



avremo : 



(35') v = 2(ap — T». 



In modo analogo si vede che il numero dei punti comuni a T ed alla curva T' 

 di caratteri a', P', f', è espresso dalla formola: 



a8' + 3a' — 2ff'p. 



Il genere p di T si otterrà dalla formola (15), sostituendoci il valore ora tro- 

 vato di v: 



(35") p = (a - 1) (P - 1) + p (a + 3 - y^). 



Se i due fasci unisecantisi sono a moduli generali o, ciò che è lo stesso, se la 

 curva C è a moduli generali, su essa non vi saranno che corrispondenze a valenza (*), 

 e quindi sulla F non si troveranno altre curve che quelle dotate di valenza. Si può 

 dunque enunciare il teorema: 



Sopra una superficie con due fasci unisecantisi \K^\, 1 | , razionalmente identici 

 ed a moduli generali, tutte le curve si ottengono con operazioni di somma e sottrazione 

 a partire dai due fasci e da una curva K unisecante le . 



Pili precisamente: Data una curva T esiste un intero t, positivo, negativo o 

 nullo (valenza di T). tale che T appartiene totalmente al sistema lineare: 



I Tj + r; + T {Kj + K,;) - t Jì: | , 



ove Kj Ky sono due qualunque curve dei due fasci, e TJ (o TJ) denota il gruppo 

 delle (o /Q passanti pei punti comuni a ed alla KJ (o KJ). 



Se p è il genere dei due fasci, a p gli indici di T, il grado ed il genere di 

 questa curva sono espressi dalle formole (35'), (35"). 



Se poi i due fasci non sono a moduli generali, esisterà un numero finito (non 

 superiore a 2^^) di curve tali che applicando ad esse ed alle curve dei due fasci le 

 operazioni di somma e sottrazione, si ottengono tutte le curve di F. 



Osserveremo per ultimo che K dà luogo su F ad nn' involuzione quadratica cj)', 

 ove si chiamino omologhi due punti di F quando sono le intersezioni di due coppie 

 di curve dei due fasci che projettano gli stessi due punti di K. 



La inversa di una corrispondenza che sia rappresentata dalla curva T. è rap- 

 presentata dalla curva T~^ coniugata di T nella involuzione 0', ossia dalla curva 

 che contiene i coniugati dei punti di T. 



Sicché le corrispondenze sinm metriche son rappresentate da curve mutate in se 

 dalla involuzione, o come anche si dice appartenenti all'involuzione. 



(*) HuRwiTz, loc. cit., § 2. 



