SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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Il genere (virtuale) p di L si può ricavare direttamente dalla (28), oppure 

 dalla (15) sostituendoci una delle espressioni (33). Così trovasi: 



( p (a — 1) (p — 1) 4- ?>Pi -t- °Ì'2 — 2^ ^ t'.^X.X^ 



(34) 



/ p = (o— l) + P;), + 0ft-2^IA„c,c,. 



19. Caso di una superficie con due fasci unisecanfisi razionalmente identici. — 

 Fra le superficie con due fasci unisecantisi sono particolarmente notevoli quelle che 

 posseggono due fasci razionalmente identici. 



In questo numero ci occuperemo di tali superficie, applicando ad esse i risul- 

 tati ottenuti nel caso generale. 



Sia dunque F una superficie coi due fasci | /CI , \Ky\ razionalmente identici di 

 generi = P2 —Z' : i suoi punti possono porsi in corrispondenza biunivoca colle 

 coppie di punti di due curve coincidenti, ossia colle coppie di punti di una curva C, 

 ove si considerino come diverse due coppie che differiscono per l'ordine. Ogni cor- 

 rispondenza T fra i punti di C sarà rappresentata su F da una curva T; in parti- 

 colare l'identità sarà rappresentata da una curva K unisecante le e le Ky. 



In generale la C non ammette trasformazioni birazionali in sè stessa, e quindi 

 su F non ci son generalmente altre curve unisecanti le e le Ky all'infuori della K; 

 se però esistono trasformazioni birazionali di C in sè stessa, queste son rappresen- 

 tate su F da altrettante curve come la K, ed in tal caso è evidente che si potrà 

 porre fra i punti di F e le coppie ordinate dei punti di una curva, una corrispon- 

 denza tale che una prefissata di quelle curve unisecanti rappresenti l'identità. 



Le corrispondenze a valenza t (positiva, negativa o nulla) son rappresentate su 

 F da curve che diremo a valenza T- Sia T una curva a valenza t di indici a, p. 



Dicendo allora Ty' il gruppo delle Ky che passano pei punti ove la curva KJ 

 sega T, Ty" il gruppo delle Ky passanti pei punti ove KJ' sega T, e Ky',Ky" le Ky 

 che passano rispettivamente pei punti ove K è tagliata da KJ, KJ', avremo : 



TJ + fKJ^TJ' + U^y", 



donde, in virtù delle considerazioni svolte al n° 15, si trae: 



(35) r+ tK^ÌT^ +Ty) + r (/C + Ky). 



Notiamo qui incidentemente che se si considerano i gruppi segati sulla iden- 

 tità K dalle curve che figurano in questa relazione, si ottiene nuovamente il teorema 

 dimostrato al n° 8 ed il principio di corrispondenza che da esso discende. 



Dalla (35) si ricava facilmente il grado v di 7" in funzione di a. 3, T- Difatti se 

 si segano con T i due membri della relazione stessa, viene: 



vH-T» = 2aP-f-T(ct + 3). 

 Sfrie TT. Tom. LIV. k 



