SULLE CORRlSPuNDENZL FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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altrove avuto occasione di chiamare teorema di Bézotil sopra una superficie, un teo- 

 rema analogo a quello che ci apprende il modo di calcolare il numero dei punti 

 comuni a due curve piane. Per una superficie algebrica qualunque la questione si 

 può porre così : Definire un sistema di caratteri di ogni curva tracciata sulla super- 

 ficie, in guisa che il numero dei punti comuni a due tali curve si esprima soltanto 

 mediante i caratteri della superficie ed i caratteri definiti delle due curve (*). 



Oltreché sul piano e sulle superficie razionali, il teorema di Bézout si conosce 

 sulle rigate, come risulta dalla forinola ritrovata al n" 14, sulle superficie generali 

 nel loro ordine, come si desume dalle ricerche di Nòther (**), sulla superficie di 

 Kiimmer e sulle superficie iperellittiche, come si rileva da un teorema di Poincaré 

 sul numero degli zeri comuni a più funzioni di dato ordine (***). 



Qui ci proponiamo di dare il teorema per le superficie con due fasci unisecantisi. 



Sia (f ... r') una base del sistema di tutte le curve tracciate sulla superficie F 

 con due fasci unisecantisi, ed in relazione alle curve di questa base conserviamo le 

 notazioni introdotte al principio del n° precedente. Data su F una curva qualunque L 

 di indici a p, essa -si esprimo mediante la base data, con la forinola : 



(28) X L + r' + ... 4- X, r' ^ X (l. + l,) + x^ (r; + r/) 4- ... 



Segando con T' i due membri di questa relazione, avremo: 



XT. -f J^iTi. ... + ^,Ta = X (a P, (3 a.) + X^ (a^ p. + p^a.) + ... 



{i=l...t), 



ove Ti rappresenta il numero dei punti comuni ad L e V\ Se si pone: 



c, = a P, + p a, — T., 



verrà : 



(29) X c. + Xi Cu + X2 + ... + X, Cu = 0. 



Sia ora L' un'altra curva di indici a' p' tracciata su F, e sia t/ il numero dei 

 punti in cui essa incontra T*. Avremo similmente: 



(30) X' c/ + X/ Cu + Xo' + ... + X/ e. = 0, 

 ove si è posto : 



c/ = a' p. + p'a. — T.'. 



Seghiamo con V i due membri della (28) e rappresentiamo con / il numero 

 dei punti comuni ad L, L' . Verrà allora: 



X i + Xi Ti' + ... + X, t/ X (a P' + P a') r X^ (a^ p' + p^ a') + ... 



ossia : 



(31) XI=rX(ap' + pa') + XiCi' + X2e.,' + ...+X,c/. 



(*) Cfr. la mia Memoria, Sulle intersezioni delle varietà algebriche, ecc., " Memorie della R. Accad. 

 di Torino (2), t. 52 (1902); n° 26. 



(**) Cfr. NoTHER, Zur Grundlegung der Theorie der algehraischen Raumcitrveu. " Berliner Abhand- 

 lung , (1882). 



(***) Vedi la Memoria citata di G. Hombert, Théorie générale des surfaces hyperelliptiqnes. * Journal 

 do Math. (4), t. 9 (1893). 



