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FRANCESCO SEVERI 



Finora abbiamo considerato il caso che i numeri )u jUj sieno positivi; se uno o 

 entrambi son negativi si definirà la T' mediante la relazione: 



r ^ Mi r + ^ r' + L, 



ove L è una curva a valenza zero appartenente ad un sistema lineare cosi ampio, 

 che esistano curve corrispondenti al simbolo \x^V -\- \iV' -\- L. La (26) sarà sosti- 

 tuita dalla: 



(26') \ r = X [M,(r. + r,) + M (r; + r/) {l. + ì,) ] -f (r' - vj - r/) + 



+ X2Mi(r"-r;'-r;') + ... 



ed anche in tal caso il discriminante A' del gruppo (f' V" ... V) sarà legato a A 

 dalla (27). 



La (27) ci dice anzitutto che A' =j= e quindi che l'insieme (F' f" ... T') si può 

 prendere come base invece di (f f" ... f), e inoltre ci dice che è un divisore di A, 



Trattiamo ora la base (f' f" ... f) come la base iniziale; avremo un'altra base 

 il cui discriminante A" in valore assoluto è minore di A'. Cosi proseguendo si ot- 

 terrà una successione di numeri interi diversi da zero: 



A A' A" ... 



di cui ciascuno ha valore assoluto minore del precedente. Dunque la successione 

 avrà un ultimo termine A" e la base corrispondente sarà una base minima. 

 E facile dimostrare che: 



Tutte le basi minime hanno lo stesso discriminante. 



Difatti se A A' sono i discriminanti di due basi minime, in virtù della (23) 

 avremo due relazioni del tipo : 



A' = A2 A 

 A =A'2A', 



ove A A' son numeri interi. Ora la prima dice che il rapporto ^ non è inferiore ad 1, 

 la seconda chQ lo stesso rapporto non è superiore ad 1, dunque verrà: 



1, 



A' = A. 



Il procedimento che abbiamo indicato per la riduzione alla base minima, dice 

 di più che: 



1 discriminanti (=!= 0) delle varie basi hanno per massimo comun divisore il discri- 

 minante di una base minima. 



18. Teorema di Bézout sopra una superficie con due fasci unisecantisi. — Espres- 

 sioni del grado e del genere di una curva tracciata sulla superficie stessa. — Abbiamo 



