28 



FBANCESCO SEVERI 



Segando con T\' i due membri della (20), avremo: 

 X. T./ = X. (a/ P/ + P/ a/) + \i. (Tu' - a, 3/ - a/) + . .. 



ove Yii' rappresenta il numero dei punti comuni a TT' e TT'. 

 Se poniamo: 



otterremo : 



(22) \~c,/ = XuCn + X2. Cl^' + ... + \u Cu', 



ed il discriminante della nuova base sarà espresso da: 



A' = 



t I 



C II C ,2 



ii,l=l ... t), 



Profittando delle (21), (22), e della regola di moltiplicazione dei determinanti, 

 si trova fra A e A' la relazione seguente: 



(23) 



nella quale si è posto: 



(X1X2... \,Y A'= A2A, 

 . Xu 



A = 



Xu X12 



Xn X,2 



x„ 



Poiché le Xi ... X< non son nulle, la relazione ottenuta ci mostra che se fosse 

 A = sarebbe pure A' = 0, ossia se fosse nullo il discriminante di una base, sa- 

 rebbe nullo il discriminante di ogni altra base. 



Se dunque sopra una superficie F esistesse una base col discriminante nullo, 

 questa sarebbe una proprietà intrinseca della superficie stessa. Ma per quanto io 

 non abbia potuto stabilire in generale il fatto che la condizione A =4= è necessaria 

 perchè le curve f ... f' formino una base, tuttavia credo che non esistano super- 

 ficie F dotate della proprietà accennata. Ad ogni modo questa è una questione che 

 per ora lascio insoluta. 



Facciamo ora l'ipotesi, eventualmente limitativa, che il discriminante A della 

 base (f ... f) sia diverso da zero. Vogliamo vedere come si deve operare {per somma 

 e sottrazione) sulla base data, affine di passare ad una base minima. Data una curva 

 r di F, essa si esprime mediante la base data nel modo seguente: 



(24) 



xr = x(r. + Q + x, (r'-r./-r;) + ... 



ove X è un intero diverso da zero. Osserviamo anzitutto che se gli interi Xi ... X, son 

 divisibili per \, ossia se: 



