SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



Il determinante simmetrico: 



Cu Ci2 ... Ci( 



C21 C22 ... C21 



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Cii C12 



ove si è posto: 



c,A = et; Pfc + 3, — T./, {i,h=l...t), 



si chiamerà il discriminante dell' aggruppamento (f ... f). 



E facile provare che se le curve V ... f sono dipendenti, il discriminante A si 

 annulla. 



Difatti dalla relazione di dipendenza delle ff"...: 



x.r' + ... + \, r = x(r/ + r;) + ..., 



segando colla P tutte le curve che figurano nei due membri della relazione stessa, 

 si ricava: 



XiTi. + X2T2Ì + ... + X,T/. = Xi (oiP, -f a, Pi) + ... 



ossia: 



Xi Cu + X2 Cu + ... + \,Cu = (j — 1 ... t). 



Giacche queste equazioni lineari son soddisfatte per valori non tutti nulli delle X, 

 sarà zero il determinante dei coefficienti, che è precisamente A. 



La proposizione dimostrata ci dice che se ^ è il massimo numero di curve in- 

 dipendenti che si posson tracciare su F, ogni aggruppamento di t curve che abbia 

 il discriminante diverso da zero, potrà assumersi come base della totalità delle curve 

 appartenenti ad F. 



Nell'ipotesi che l'aggruppamento (f ... f) sia una base, vediamo come si passa 

 dal suo discriminante al discriminante A' di un'altra base, le cui curve TT' ... TT' ab- 

 biano gli indici Oj' Pi', ... a,' p/. Le TT' ... TT' saranno dipendenti dalle curve f ... f, e 

 quindi avremo: 



(20) 



X. n- = \. (n; -f n'„) 4- x,. (r' - r; - r/) + K (r" - r/' - r/') + ... 



ii = i...t) 



ove le X, Xi, Xj, ... sono interi convenienti e nessuna delle è nulla, perchè altrimenti 

 le f ... r' sarebbero dipendenti. Segando con f le curve che compariscono nei due 

 membri della (20), otterremo: 



X.T./ = K (a/ 8. ^ 3/ a,) 4" K {Tu — Oi P, - Pi a,) + ... 



ove T,/ rappresenta il numero dei punti comuni a TT' e f. Se si pone : 



verrà ; 

 (21) 



X, c,,' = Xi. Ci, + X,. Coi -f ... + X„ c„ (i, / = 1 ... 0- 



