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FRANCESCO SEVERI 



uscente da a, e TJ' Ty" hanno significati analoghi rispetto a T" . Dalla relazione 

 precedente, in virtù di quanto stabilimmo al n" 15, si trae: 



\i r + T" = \, {Tj + r;) + {tj' + r;'), 



la quale prova la dipendenza di T' T" secondo (Xi X2). 



Viceversa è facile vedere che due curve T' T" dipendenti secondo (X^ Xg), danno 

 luogo a due corrispondenze dell'insieme G, dipendenti secondo gli stessi numeri. 



Ciò posto, diciamo V T" ... V le curve di F che si costruiscono col sussidio delle 

 corrispondenze ... St dell'insieme G. Siccome ogni curva f di dà luogo su K ad 

 una corrispondenza S che appartiene all'insieme G e che dipende quindi daS^i...S^(, 

 la curva F sarà dipendente da f ... f. Dunque tutte le curve di F sono dipendenti 

 dalle r' ... f, e perciò l'insieme (f ... f) si dice una base del sistema delle curve 

 tracciate su F. Se le corrispondenze ... 5, furono scelte in guisa che dicendo S 

 una corrispondenza qualsiasi dell'insieme G, le S ... S, siano dipendenti secondo i 

 numeri (IX^... X,), ove le X siano interi convenienti, la base (f ... f) si dira minima. 

 Notiamo adesso che il teorema enunciato al principio di questo numero, concernente 

 la totalità delle curve appartenenti ad F, dice in sostanza che ogni curva di F si 

 può ottenere con operazioni di somma e sottrazione dalle curve dei due fasci unisecantisi 

 e da quelle di una base minima. 



Ritornando alle due curve C, C dalle quali è nata la superficie F, il risultato 

 ottenuto ci dice che nella totalità delle corrispondenze fra C, C, se ne può trovare 

 un numero finito f ... f, per modo che indicando con Yi Y/ i gruppi dei punti di C 

 omologhi dei punti x x', di C, nella corrispondenza f', e con Y Y' i gruppi dei' punti 

 di C omologhi di x x' in un'altra corrispondenza qualsiasi T fra C, C", abbia luogo 

 la relazione: 



X Y + Xi Fi + ... + X, = X F' + Xi F/ + ... + X, F/. 



La proposizione stabilita al n° 11 nel caso di due curve coincidenti, resta così 

 estesa al caso di due curve distinte. Questa estensione si sarebbe potuta ottenere 

 anche mediante la rappresentazione delle corrispondenze fra due curve cogli inte- 

 grali abeliani ad esse relativi. Le formolo analoghe a quelle date da Hurwitz per 

 rappresentare le corrispondenze sopra una curva, si otterrebbero anche nel caso di 

 due curve distinte C, C", partendosi dal fatto che quando fra C, C" si ha una cor- 

 rispondenza algebrica, la somma dei valori d'un integrale abeliano (di l'' specie) an- 

 nesso a C nei punti y corrispondenti ad un punto x di (7, riguardata come funzione 

 di X, è un integrale abeliano di l-'^ specie annesso a C. 



Anzi mediante la rappresentazione trascendente si sarebbe di più ottenuto che 

 il numero delle corrispondenze indipendenti fra due curve distinte di generi j?ip2) 

 non può superare 2j9i p^. Ma su ciò crediamo inutile d'insistere, trattandosi di cosa 

 che si stabilisce con una leggera modificazione del procedimento usato da Hurwitz, 

 per stabilire il fatto analogo sopra una sola curva. 



17. Discriminante di una base. — Discriminante di una base minima. — Conside- 

 riamo le curve f ... f di indici Pi,..., a, e rappresentiamo con t.t. il numero dei 

 punti comuni alle due curve P' f", dimodoché T„ rappresenterà il grado virtuale della f. 



