SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 



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Fissiamo infatti sulla F una curva K di indici m v, diversa dalle curve dei due 

 fasci, ed indichiamo con J, J le due involuzioni di generi pi che i due fasci se- 

 gano su K. Diremo che una corrispondenza -S' fra i punti ài K ò composta con una 

 di queste involuzioni, p. es. con J, quando i punti y omologhi del punto a nella S, 

 si distribuiscono in tanti gruppi dell'involuzione J. 



Data su F una curva T di indici a p, essa determina una corrispondenza fra 

 le curve dei due fasci, allorché si riguardino come omologhe due curve Ky che 

 s'incontrano in un punto di T. 



Mediante questa corrispondenza ne possiamo porre una, <S', fra i punti di K, nel 

 modo seguente: 



Dato un punto a di K, si chiamino suoi omologhi i P \x punti y segnati su K 

 dalle Ky che passano per le intersezioni di T con la 7C uscente da a. La corrispon- 

 denza S è composta con J e la sua inversa è composta con /. 



Indicheremo con G l'insieme di tutte quelle corrispondenze esistenti su K, che 

 son composte con J ed hanno le inverse composte con 7. 



Ogni curva di F dà luogo su K, nel modo visto, ad una corrispondenza dell'in- 

 sieme (?, e viceversa una tal corrispondenza dà origine ad uno fra i gruppi delle 

 involuzioni /, J, ossia fra le curve dei due fasci irrazionali. Le Ky omologhe in 

 quest'ultima corrispondenza, s'intersecano nei punti di una curva T di F. 



Dal momento che (come fu dimostrato al n° 11) il numero delle corrispondenze 

 indipendenti sopra una curva ammette un massimo, nell'insieme G non ne esisterà 

 piii di un certo numero di indipendenti, sicché si potranno fissare in esso t corri- 

 spondenze Si ... S, indipendenti, tali che ogni altra corrispondenza di G sia dipen- 

 dente da quelle. Notiamo però, a scanso d'equivoci, che viceversa non è detto che 

 ogni corrispondenza dipendente da ... S, appartenga a G; cosi la somma di una 

 corrispondenza di G con una corrispondenza a valenza zero non appartenente a G, 

 dipende da ... St e non appartiene a G. 



Proviamo ora che corrispondenze dell'insieme G, fra loro dipendenti, danno luogo 

 su a curve dipendenti. 



Siene, p. es., Bi B^ due corrispondenze di G dipendenti secondo (Xj Xg). Ciò signi- 

 fica che dicendo i gruppi degli omologhi del punto a nelle R-^ ^ q Y^ i 

 gruppi degli omologhi di un altro punto rt, si ha: 



Yi + Xj 1^2 = ^1 -\- Xg Y^. 



Indichiamo con T T" le curve di F che si costruiscono mediante le due cor- 

 rispondenze ^1 R2. Poiché ai gruppi di una serie lineare composta con J, rispondono 

 nel fascio \Ky\ gruppi di curve appartenenti ad una medesima serie lineare, a\Temo: 



Xj Ty X2 = Xj Ty "f" ^2 ^ y" ) 



ove Ty rappresenta il gruppo delle Ky che passano pei punti comuni a T' ed alla 

 K^ uscente da «, il gruppo delle Ky che passano pei punti ove T' taglia la K^ 



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