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FRANCESCO SEVERI 



curva corrispondente al simbolo X^P' -|- ... -f- K^''- In tal caso però si potrà scegliere 

 una curva L a valenza zero (appartenente ad un sistema lineare abbastanza ampio) 

 in guisa che esista una curva corrispondente al simbolo L + Xj f -)- ... -|- X^ f*': la (18) 

 dice allora che anche questa curva è a valenza zero. 

 Dalla (18) si trae: 



Xi r + ... + X, p— Xi rj - ... -Kn^ K r; + ... + x. rj, 



sicché dicendo fj, il gruppo delle Ky che passano pei punti ove la curva sega T', 

 avremo : 



(19) Xi r; + ... -{-hn^ X J./ -f ... + x.f J. 



Viceversa se questa relazione è soddisfatta qualunque sieno le due curve 

 e Kx con cui si son segate le P, sarà vera anche la (18). Difatti quando le X son 

 tutte positive, la (19) ci dice che la curva Xj f -(- ••• + è a valenza zero, e quindi 

 pel teorema dimostrato al n" precedente, sussisterà la (18). 



Ma supponiamo, ad es., che Xj sia negativa {= — X/) e le altre X positive. Al- 

 lora si potrà determinare un sistema lineare di curve a valenza zero così ampio, 

 che vi siano in esso curve spezzate nella X/ f' e in una parte residua f. Poiché la 

 curva r -(- Xj' f è a valenza zero, avremo: 



r» + ^l' f / = Ty + x/ r/, 



la quale addizionata alle (19) dà: 



r. r;' + ... = r, + x,r;' + ..., 



e da questa, essendo tutte le X positive, si trae: 



r+x, r"+ ... = (r. + r,) + x, (r," + r;') + ... , 



che combinata colla relazione: 



r -I- x,'r==(r. + Q + x/ (r; + r;), 



la quale esprime appunto che f -|- X/ f è a valenza zero, porge : 



X, r' + X, r" + ... - \, (r; + r;) + x, (r;' + r;') + ... 



16. Esistenza di un massimo pel numero delle curve indipendenti sopra la super- 

 ficie con due fasci unisecantisi. — Base del sistema di tutte le curve su essa tracciate. — 

 Il teorema dimostrato al n° 14 per le rigate, ci dava il modo di ottenere per somma 

 e sottrazione tutte le curve tracciate sopra una rigata, a partire dai fasci IZilelZ^j. 



In questo n° ci occuperemo del teorema analogo per le superficie F con due 

 fasci irrazionali. Usando delle locuzioni introdotte al n° precedente, questo teorema 

 si può enunciare brevemente cosi: 



Sopra la superficie F con dite fasci unisecantisi \Kj\ e ] | , di generi pi , p2 ; è 

 possibile trovare un numero, non superiore a 2pi p2; di curve indipendenti, tali che 

 ogni altra curva di F sia dipendente da quelle. 



