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FRANCESCO SEVERI 



sistema | + Ty\. Poiché per un punto di T passano due curve omologhe nella cor- 

 rispondenza che l'equazione <t> {x\y) =0 pone fra i due fasci \Kx\, \Ky\, ne viene che 

 T fa parte della curva L. 



Se per un punto fuori di T passassero una /C e una Ky omologhe nella cor- 

 rispondenza stessa, siccome esse già s'incontrerebbero in T, esisterebbe una curva 

 che farebbe parte di 7C e di Ky. 



Ma se, come abbiamo supposto, la superficie F rappresenta senza eccezione le 

 coppie dei punti di due curve C, C, non esistono curve dei due fasci unisecantisi 

 aventi parti comuni e perciò in tal caso L—T. 



Dunque: 



Sulla superficie F coi due fasci unisecantisi |Ki|; [Kyl^ ogni curva T a valenza 

 zero appartiene al sistema lineare individuato dalle curve Ky che passano pei punti co- 

 muni a T e ad una K,., aumentate delle che passano pei punti ove una Ky incontra T. 



Se uno dei due fasci, p. es. jAV? è razionale, la superficie F e riferibile bira- 

 zionalmente ad una rigata, di genere uguale al genere pi dell'altro fascio \K^\. Le 

 curve di quest'ultimo fascio si chiameranno generatrici, e la 7^ si dirà rigata, anche 

 se non lo è nel senso projettivo della parola. 



In questo caso è utile vedere quali modificazioni subisca il teorema precedente 

 se la F non rappresenta senza eccezione le coppie di punti delle due curve C, C 

 (delle quali la seconda è razionale), perchè quando si dà una rigata e si cerca di 

 costruire su essa un fascio di unisecanti le generatrici, questo (essendo razionale) 

 viene generalmente ad avere dei punti base. 



Supponiamo dunque che il fascio \ Ky\ abbia n punti base: allora le generatrici 

 passanti per questi si staccheranno da cei-te n curve del fascio \Ky\, e quindi la 

 curva L, di cui prima parlavamo, non conterrà soltanto la T, ma anche ciascuna 

 delle suddette generatrici. Ognuna di queste si dovrà inoltre contare P volte come 

 parte della L, perchè taglia in P punti la curva T. 



E facile vedere che nel caso che stiamo trattando, il teorema dimostrato ci dà 

 il modo di ottenere tutte le curve della superficie F. Basterà perciò provare che le 

 curve tracciate sopra una rigata sono a valenza zero. Difatti le Ky che passano 

 pei P punti comuni alla curva T" e ad una generatrice, mutando questa variano in 

 una seiie lineare, perchè in un ente razionale coi tutti i possibili gruppi di p ele- 

 menti formano una serie lineare. 



Potremo dunque enunciare la proposizione seguente : 



Sopra una rigata F tutte le curve si ottengono colle operazioni di somma e sottra- 

 zione a partire dalle generatrici e da un fascio di unisecanti. 



Precisamente: Dato su F un fascio di unisecanti le generatrici, e una curva 

 1\ se dal sistema lineare individuato dalle unisecanti che escono dai P punti ove T 

 è tagliata da una generatrice, aumentate delle generatrici che escono dagli a punti 

 ove T è tagliata da una Ky, si tolgono le generatrici che passano per gli eventuali 

 punti base di \K^\, ciascuna contata 3 volte, si ha un sistema lineare che contiene 

 (totalmente) T. 



Dal teorema dimostrato discendono subito la formola che dà il numero dei punti 

 comuni a due curve T, T' sopra la rigata, e la formola (di Segre) che dà il genere 

 di una curva tracciata sulla rigata stessa. 



